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1、算法案例,知识探究（一）:辗转相除法,思考1:18与30的最大公约数是多少？ 你是怎样得到的？,先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数.,思考2:对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.注意到8251=61051+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？,思考3:又6105=21462+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？,2146
2、=18131+333，,148=374+0.,333=1482+37，,1813=3335+148，,8251=61051+2146，,6105=21462+1813，,大数除以小数，直到余数为0，最后的除数为最大公约数,思考4:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.一般地，用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？,第一步，给定两个正整数m，n(mn).,第二步，计算m除以n所得的余数r.,第三步，m=n，n=r.,第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.,思考5:该算法的程序框图如何表示？
3、,思考6:该程序框图对应的程序如何表述？,INPUT m，n,DO,r=m MOD n,m=n,n=r,LOOP UNTIL r=0,PRINT m,END,思考7:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？,INPUT m，n,WHILE n0,r=m MOD n,m=n,n=r,WEND,PRINT m,END,知识探究（二）:更相减损术,思考1:求得98与63的最大公约数为多少？,98-63=35，,14-7=7.,21-7=14，,28-7=21，,35-28=7，,63-35=28，,大数减小数，直到所得的减数与差相等，最后
4、相等的减数或差作为最大公约数。,“更相减损术”在中国古代数学专著九章算术中记述为： 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.,例1 分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.,辗转相除法：168=931+75， 93=751+18， 75=184+3， 18=36.,更相减损术:168-93=75， 93-75=18， 75-18=57， 57-18=39， 39-18=21， 21-18=3， 18-3=15， 15-3=12， 12-3=9， 9-3=6， 6-3=3.,1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ ）和（ ）。 2、两
5、个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706,练习:,3. 求325，130，270三个数的最大公约数.,因为325=1302+65，130=652，所以325与130的最大公约数是65.,因为270=654+10，65=106+5，10=52，所以65与270最大公约数是5.,故325，130，270三个数的最大公约数是5.,思考,怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？,计算多项式() = 当x = 5的值的算法：,算法1：,因为() =,所以(5)=55555,=3125625125255,= 390
6、6,计算多项式() = 当x = 5的值的算法：,算法2：,(5)=55555,=5(5555 ) ,=5(5(555 ) ) ,=5(5(5(5+5 +) + ) + ) +,=5(5(5(5 (5 +) + )+)+) +,分析：两种算法各用了几次乘法运算？ 和几次加法运算？,算法1：,算法2：,共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。,共做了4次乘法运算，5次加法运算。,数书九章秦九韶算法,对该多项式按下面的方式进行改写：,这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？,思考：当知道了x的值后该如何求多项式的值？,要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式 的值，即,然后，由内到
7、外逐层计算一次多项式的值，即,最后的一项是什么？,这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。,思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？,1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。,练习：,2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。,另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）,1 5 10 10 5 1,(-2),3 4 2 1 -1,+,多项式的系数,多项式的值,-2 -6 -8 -4 -2,算法案例,进位制,一、进位制,1、什么是
8、进位制？,进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。,进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。,新课讲解：,比如：,满二进一，就是二进制； 满十进一，就是十进制； 满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，就是六十进制,“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.,基数：,进位制:人们为了计数和运算方便而约定的记数系统 例如: 满二进一，就是二进制；（计算机） 满十进一，就是十进制；（手指头） 满十二进一，就是十二进制；（月份） 满六十进一，就是六十进制；（分钟） 满几进一，就是几进制。,一、引入,二
9、、表示,十进制： 87935(10)8104710391023101+5100 同理 二进制： 110011(2)125124023 022+121 +120 八进制： 7342(8)783382481280 十六进制： 45972(16)4164516391627161+2160,2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明,最常见的进位制应该是我们数学中的十进制,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的. 古人有半斤八两之说，就是十六进制与十进制的转换. 比如时间和角度的单位用六十进位制, 计算“一打”数值时是12进制的。 电子计算机用的是二进制
10、。,式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在个位,5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢十进一的。,我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。,十进制：,例如133.59，它可用一个多项式来表示：,133.59=1102+3101+3100 +510-1+910-2,实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。,其它进制：,二进制、七进制、八进制、十二进制
11、、 六十进制,二进制只有0和1两个数字，七进制用06七个数字,十六进制有09十个数字及ABCDEF六个字母.,为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制一般不标注基数.,例如十进制的133，写成133(10),七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2),3、十进制的构成,十进制由两个部分构成,例如：3721,其它进位制的数又是如何的呢？,(用10个数字来记数，称基数为10),表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，3个千即3个10的立方,K进制数化为十进制数公式,二进制与十进制的转换,1、二进制数转化为十进制数,例1：将二进制数110011(2)化成十进制数
12、。,解：,根据进位制的定义可知,所以，110011（2）=51,44 1,例2:把89化为二进制的数.,我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:,22 0,11 0,5 1,2 1,1 0,0 1,把算式中各步所得的余数从下到上排列,得到,89=1011001(2).,这种方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法.,2.十进制数化为二进制数：,例1：把89化为五进制数。,3、十进制转换为其它进制,解：,根据除k取余法,以5作为除数，相应的除法算式为：,所以，89=324（5）,问题你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?,解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=134+033+232+231+130 =81+18+6+1=106.,第二步:再把十进制数化为二进制数:,106=1101010(2).,练习： 完成下列进位制之间的转化： （1）102（4）= （10）； （2）23（7）= （10）； （3）137（10）= （6）； （4）123（5）= （7）； （5）1010111（2）= （4）。,小结,一、进位制,1、其它进制数化成十进制数公式,二、各进制数之间的转化（只限整数）,2、十进制数化成k进制数,除k取余法,
