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1、第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波,2.1 引言 2.2 维纳滤波器的离散形式时域解 2.3 离散维纳滤波器的z域解 2.4 维纳预测 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波,2.1 引 言,在生产实践中，我们所观测到的信号都是受到噪声干扰的。如何最大限度地抑制噪声，并将有用信号分离出来，是信号处理中经常遇到的问题。换句话说，信号处理的目的就是要得到不受干扰影响的真正信号。相应的处理系统称为滤波器。这里， 我们只考虑加性噪声的影响，即观测数据x(n)是信号s(n)与噪声v(n)之和（如图2.1.1所示）, 即,x(n)=s(n)+v(n),（2.1.1）,我们的目的是为了得到不含噪声的信号s(n)，也称
2、为期望信号，若滤波系统的单位脉冲响应为h(n)（如图2.1.2所示）， 系统的期望输出用yd(n)表示，yd(n)应等于信号的真值s(n)；系统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估计，用公式表示为yd(n)=s(n)， y(n) = 。因此对信号x(n)进行处理，可以看成是对期望信号的估计，这样可以将h(n)看作是一个估计器，也就是说, 信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。那么， 采用不同的最佳准则，估计得到的结果可能不同。所得到的估计， 在通信中称为波形估计; 在自动控制中，称为动态估计。,图 2.1.1 观测信号的组成,图 2.1.2 信号处理的一般模型,维纳滤波是
3、在第二次世界大战期间，由于军事的需要由维纳提出的。1950年，伯特和香农给出了当信号的功率谱为有理谱时，由功率谱直接求取维纳滤波器传输函数的设计方法。 维纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律（自相关函数或功率谱密度），得到的结果是封闭公式。采用谱分解的方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法所造成的， 因此人们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法。,2.2 维纳滤波器的离散形式时域解,2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以得到
4、滤波器的输出y(n),n=0, 1, 2, ,（2.2.2）,设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E|e(n)|2分别为,e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n),（2.2.）,（2.2.）,要使均方误差为最小，须满足,（2.2.5）,这里，hj表示h(j); 同理，可以用aj，bj分别表示a(j)，b(j)。由于误差的均方值是一标量，因此（2.2.5）式是一个标量对复函数的求导问题， 它等价于,j=0, 1, 2, ,（2.2.6）,记,j=0, 1, 2, ,（2.2.）,则（2.2.6）式可以写为,（2.2.8）,将（2.2.8）式展开,（2.2.9）,又根据（2.2
5、.1）(2.2.3)式,将（2.2.10）（2.2.13）式代入（2.2.9）式， 得,（2.2.14),因此,Ex*(n-j)e(n)=0 j=0, 1, 2, ,（2.2.15）,上式说明，均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一进入估计的输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。它的重要意义在于提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。,下面计算输出信号与误差信号的互相关函数,(2.2.16),假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出yopt(n)与期望信号d(n)的误差为eopt(n)，把（2.2.15）式代入上式，得到,(2.2.17),图 2.2.1 期望信号、
6、 估计值与误差信号的几何关系,图2.2.1表明在滤波器处于最佳工作状态时， 估计值加上估计偏差等于期望信号， 即,注意我们所研究的是随机信号，图2.2.1中各矢量的几何表示应理解为相应量的统计平均或者是数学期望。再从能量的角度来看，假定输入信号和期望信号都是零均值, 应用正交性原理,则 , 因此在滤波器处于最佳状态时， 估计值的能量总是小于等于期望信号的能量。,2.2.2 维纳霍夫方程 将（2.2.15）式展开， 可以得到,将输入信号分配进去， 得到,k=0, 1, 2, ,对上式两边取共轭，利用相关函数的性质: ryx(-k)=r*xy(k), 得到,k=0, 1, 2, ,(2.2.20)
7、,(2.2.20)式称为维纳-霍夫（WienerHopf）方程。当h(n)是一个长度为M的因果序列(即h(n)是一个长度为M的FIR滤波器)时， 维纳-霍夫方程表述为,k=0, 1, 2, ,(2.2.21),把k的取值代入(2.2.21)式， 得到,(2.2.22),定义,（2.2.22）式可以写成矩阵的形式， 即,(2.2.23),对上式求逆，得到,(2.2.24),上式表明已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算， 得到维纳滤波器的最佳解。同时可以看到，直接从时域求解因果的维纳滤波器， 当选择的滤波器的长度M较大时， 计算工作量很大， 并且需要计算
8、Rxx的逆矩阵，从而要求的存贮量也很大。此外， 在具体实现时，滤波器的长度是由实验来确定的，如果想通过增加长度提高逼近的精度，就需要在新M基础上重新进行计算。因此，从时域求解维纳滤波器，并不是一个有效的方法。,2.2.3 估计误差的均方值 假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度等于M，将(2.2.2)式和(2.2.3)式代入(2.2.4)式，可以得到,(2.2.25),上式可以进一步化简得到,可以看出， 均方误差与滤波器的单位脉冲响应是一个二次函数关系。由于单位脉冲响应h (n)为M维向量，因此均方误差是一个超椭圆抛物形曲面，该曲面有极小点存在。当滤波器工作于最佳状态时， 均方误
9、差取得最小值。,将（2.2.24）式代入(2.2.26)式，得到最小均方误差,(2.2.27),例2.2.1 设y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪声，方差22=0.1。 期望信号x1(n)的信号模型如图2.2.2（a）所示，其中白噪声v1(n)的方差21=0.27，且b0=0.8458。x(n)的信号模型如图2.2.2（b）所示，b1=0.9458。假定v1(n)与v2(n)、x1(n)与y(n)不相关，并都是实信号。设计一个维纳滤波器，得到该信号的最佳估计，要求滤波器是一长度为2的FIR滤波器。,图 2.2.2 输入信号与观测数据的模型,解 这个问题属于直接应用维纳-霍夫方程
10、的典型问题， 其关键在于求出观测信号的自相关函数和观测信号与期望信号的互相关函数。,图 2.2.3 维纳滤波器的框图,根据题意，画出这个维纳滤波器的框图，如图2.2.3所示。 用H1(z)和H2(z)分别表示x1(n)和x(n)的信号模型，那么滤波器的输入信号x(n)可以看作是v1(n)通过H1(z)和H(z)级联后的输出， H1(z)和H(z)级联后的等效系统用H(z)表示，输出信号y(n)就等于x(n)和v2(n)之和。因此求出输出信号的自相关函数矩阵Ryy和输出信号与期望信号的互相关矩阵Ryd是解决问题的关键。相关函数矩阵由相关函数值组成，已知x(n)与v2(n)不相关，那么,(1) 求
11、出期望信号的方差。根据图2.2.2(a)，期望信号的时间序列模型所对应的差分方程为,x1(n)=v1(n)-b0x1(n-1),这里，b0=0.8458, 由于x1(n)的均值为零，其方差与自相关函数在零点的值相等。,(2) 计算输入信号和输出信号的自相关函数矩阵。根据自相关函数、功率谱密度和时间序列信号模型的等价关系，已知时间序列信号模型，就可以求出自相关函数。这里，信号的模型H(z)可以通过计算得到。,这是一个二阶系统，所对应的差分方程为,x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1(n),式中，a1=-0.1，a2=-0.8。由于v1(n)、v2(n)的均值为零，因此， x(n)的
12、均值为0。给方程两边同乘以x*(n-m)，并取数学期望，得到,rxx(m)+a1rxx(m-1)+a2rxx (m-2)=0 m0 (1) rxx(0)+ a1rxx(1)+a2rxx(2)=21 m=0 (2),对方程（1）取m=1, 2，得到,方程（2）、（3）、（4）联立求解，得,至此， 输入信号的自相关矩阵Rxx可以写出：,v2(n)是一个零均值的白噪声，它的自相关函数矩阵呈对角形， 且 ，,因此，输出信号的自相关Ryy为,(3) 计算输出信号与期望信号的互相关函数矩阵。 由于两个信号都是实信号，故,ryd(m)=Ey(n)d(n-m)=Ey(n)x1(n-m) =E(x(n)+v2(
13、n)x1(n-m)=Ex(n)x1(n-m) m=0, 1,根据图2.2.2系统H2(z)的输入与输出的关系, 有,x1(n)-b1x(n-1)=x(n),推出,x1(n)=x(n)+b1x(n-1),这样,ryd(m) =Ex(n)x1(n-m)=Ex(n)(x(n-m)+b1x(n-1-m) =rxx(m)+b1rxx(m-1),将m=0, m=1代入上式, 得,ryd(0)=rxx(0)+b1rxx(-1)=1-0.94580.5=0.5272 ryd(1)=rxx(1)+ b1rxx(0)=0.5-0.94581=-0.4458,因此，输出信号与期望信号的互相关Ryd为,求出输出信号自
14、相关的逆矩阵, 并乘以Ryd, 就可以得到维纳滤波器的最佳解Wopt:,把Wopt代入（2.2.27）式，可以计算出该维纳滤波达到最佳状态时均方误差，即取得了最小值E|e(n)|2min，,2.3 离散维纳滤波器的z域解,若不考虑滤波器的因果性，（2.2.20）式可以写为,设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到,Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z),假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则,Sxs(z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z),（2.3.2）式可以写成,（2.3.5）式表示，当噪声为0时，信号全部通过；当信号为0时， 噪声全部被抑制掉，因此维纳
15、滤波确有滤除噪声的能力。把信号的频谱用Pss(ej)表示，噪声的频谱用Pvv(ej)表示，那么非因果的维纳滤波器的传输函数Hopt(ej)的幅频特性如图2.3.1所示。,然而实际的系统都是因果的。对于一个因果系统，不能直接转入频域求解的原因是由于输入信号与期望信号的互相关序列是一个因果序列，如果能够把因果维纳滤波器的求解问题转化为非因果问题，求解方法将大大简化。那么怎样把一个因果序列转化为一个非因果序列呢？,图 2.3.1 非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性,回顾前面讲到的时间序列信号模型，假设x(n)的信号模型B(z)已知（如图2.3.2(a)所示），求出信号模型的逆系统B-1(z)， 并
16、将x(n)作为输入，那么逆系统B-1(z)的输出(n)为白噪声。一般把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为白化滤波器（如图2.3.2(b)所示）。,图 2.3.2 x(n)的时间序列信号模型及其白化滤波器,具体思路如图2.3.3所示。用白噪声作为待求的维纳滤波器的输入，设定1/B(z)为信号x(n)的白化滤波器的传输函数，那么维纳滤波器的传输函数G(z)的关系为,(2.3.7),因此，维纳滤波器的传输函数H(z)的求解转化为G(z)的求解。,图 2.3.3 维纳滤波解题思路,2.3.1 非因果维纳滤波器的求解 假设待求维纳滤波器的单位脉冲响应为(n)，期望信号d(n)=s(n)，系统的输出信号y(n)=s(n)，g(n)是G(z)的逆Z变换， 如图2.3.3所示。,(2.3.9),可以看出，均方误差的第一项和第三项都是非负数, 要使均方误差为最小，当且仅当,-k,(2.3.10),因此g(n)的最佳值为,-k,(2.3.11),
