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1、Thursday, February 21, 2019,1,第五节 奈魁斯特稳定判据,Thursday, February 21, 2019,2,主要内容 幅角定理 奈魁斯特稳定判据 奈氏稳定判据在、 型系统中的应用 在波德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性,奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。,Thursday, February 21, 2019,3,一、幅角定理：,设负反馈系统的开环传递函数为： ，其中： 为前向通道传递函数， 为反馈通道传递函数。,闭环传递函数为： ，如下
2、图所示：,令：,Thursday, February 21, 2019,4,显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：,。式中， 为F(s)的零、极点。,Thursday, February 21, 2019,5,F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在F(s)平面上找到一个相应的点 ， 称为 在F(s)平面上的映射。,同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 ，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （为 的映射）。,例辅助方程为： ，则s平
3、面上 点（-1，j1），映射 到F(s)平面上的点 为（0，-j1）,见下图：,Thursday, February 21, 2019,6,同样我们还可以发现以下事实：s平面上 曲线 映射到F(s)平面的曲线为 ，如下图：,曲线 是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线 包围原点，且逆时针运动。,再进一步试探，发现：若 顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则 不包围原点顺时针运动；若 顺时针只包围F(s)的一个零点（-2），则 包围原点且顺时针运动。,这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。,Thursday, February 21
4、, 2019,7,柯西幅角定理：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。,若N为正，表示 顺时针运动，包围原点；,若N为0，表示 顺时针运动，不包围原点；,若N为负，表示 逆时针运动，包围原点。,Thursday, February 21, 2019,8,二、奈魁斯特稳定判据：,对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)
5、的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。,我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：,如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为： 当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。,Thursday, February 21, 2019,9,这里需要解决两个问题： 1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？ 2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性 相
6、联系？,它可分为三部分：部分是正虚轴， 部分是右半平面上半径为无穷大的半圆； ；部分是负虚轴， 。,第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：,Thursday, February 21, 2019,10,F(s)平面上的映射是这样得到的：以 代入F(s)并令 从 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取 使角度由 ， 得第二部分的映射；令 从 ，得第三部分 的映射。稍后将介绍具体求法。,得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 ，式中： 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 。当 时，系统
7、稳定；否则不稳定。,第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为 ， 为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：,Thursday, February 21, 2019,11,F(s)对原点的包围，相当于 对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与 对(-1,j0)点的包围的次数一样。,奈魁斯特路径的第部分的映射是 曲线向右移1；第部分的映射对应 ，即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的关于实轴的对称。,F(s)的极点就是 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是 在右半平面的极点数。,由 可求得 ，而 是开环频率特性。一般在 中，分母阶数比分
8、子阶数高，所以当 时， ，即F(s)=1。（对应于映射曲线第部分）,Thursday, February 21, 2019,12,Thursday, February 21, 2019,13,根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈魁斯特稳定判据。,奈魁斯特稳定判据：若系统的开环传递函数在右半平面上有 个极点，且幅相曲线逆时针包围临界点的圈数(-1,j0)点为R，（R0逆时针，R0顺时针），则闭环系统在右半平面的极点数为： 。若 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。,Thursday, February 21, 2
9、019,14,例5-6开环传递函数为： ， 试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。,解：开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数R=0，则闭环系统在s右半平面的个数： 。故闭环系统是稳定的。,Thursday, February 21, 2019,15,例5-7设开环系统传递函数为： ，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。,解：开环极点为-1， -1 j2，都在s左半平面，所以 。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕 (-1,j2)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为： ，闭环系统是不稳定的。,Thursday, February 21, 2019,16,解：
10、开环系统奈氏图是一个半径为 ，圆心在 的圆。显然，k=1时，包围(-1,j0)点，k1时不包围(-1,j0)点。,由图中看出：当k1时，奈氏曲线逆时针包围 (-1 , j0)点一圈，R=1 ，而 ，则 闭环系统是稳定的。,Thursday, February 21, 2019,17,当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。,当k1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，R=0， ，所以 ，闭环系统不稳定。,上面讨论的奈魁斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于、型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用
11、柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈魁斯特路径。,作业：5-6,5-7,5-8,Thursday, February 21, 2019,18,三、奈魁斯特稳定判据在、型系统中的应用：,具有开环0极点系统，其开环传递函数为：,可见，在原点有 重0极点。也就是在s=0点， 不解析，若取奈氏路径同上时（通过虚轴的整个s右半平面），不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成：,Thursday, February 21, 2019,19,部分：正虚轴， ，部分为
12、半径为无穷大的右半圆 ； 部分负虚轴， ，部分为半径为无穷小的右半圆，,下面讨论对于这种奈魁斯特路径的映射 ：,1、第和第部分：常规的奈氏图 ，关于实轴对称； 2、第部分： ， 。假设 的分母阶数比分子阶数高； 3、第部分： (a)对于型系统：将奈氏路径中的点 代入 中得：,Thursday, February 21, 2019,20,(b)对于型系统：将奈氏路径中的点 代入 中得：,所以这一段的映射为：半径为 ，角度从 变到 的整个圆（顺时针）。,所以这一段的映射为：半径为 ，角度从 变到 的右半圆。,Thursday, February 21, 2019,21,结论用上述形式的奈氏路径，奈
13、氏判据仍可应用于、型系统。,例5-9设型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。,解：显然这是1型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。,从图上看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而 ，故 ，闭环系统是稳定的。,Thursday, February 21, 2019,22,例5-10某型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。,解：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：,从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因 ，所以
14、，闭环系统是不稳定的。,Thursday, February 21, 2019,23,特殊情况：1、若开环系统在虚轴上有极点，这时应将奈氏路径做相应的改变。如下图：,以极点为圆心，做半径为无穷小的右半圆，使奈氏路径不通过虚轴上极点（确保满足柯西幅角定理条件），但仍能包围整个s右半平面。映射情况，由于较复杂，略。,2、如果开环频率特性曲线通过(-1,j0)点，说明闭环系统处于临界稳定状态，闭环系统在虚轴上有极点。,Thursday, February 21, 2019,24,通常，只画出 的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为： 。式中， 为 变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的圈数。,Thursday, February 21, 2019,25,注意： 1.包围临界点的圈数R也可以根据幅相曲线计算： 设N为幅相曲线穿越(-1,j0)点左侧负实轴的次数，N+表示正穿越的次 数和（从上向下穿越），N-表示负穿越的次数和（从下向上穿越）， 则R=2N=2(N+ -N-)。 2.如果系统含有个积分环节，则在幅相曲线=0处逆时针补作 v/4 圆弧，再计算N。,（图a）N- = 1, N+=
