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1、重庆市大足中学高2009级第三次诊断性测试数学(理科)试题第一部分选择题(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把它选出来填涂在答题卡上学科网1若集合P = yy = lg x,x1 ,Q = 2,1,1,2 ,则 (RP )Q等于学科网A2,1,1,2 B(,0)学科网C(0,+) D2,1 学科网2设a = log32,b = log23,则学科网Aabc Bacb Cbac Dbca学科网3化简:学科网Ai Bi C1 D1学科网4若向量a =(1, m)和b =(2m + 3, m)共线,其中mR,则ab=学科网
2、A2或0 B2 C2或2 D4或20学科网xOy5下列四个函数中,图象如右图所示的只能是学科网Ay = x + ln x(x0) By = xln x(x0)学科网Cy =x + lnx(x0) Dy =xln x(x0)学科网6若实数x、y满足约束条件 学科网则2x + 3y的最大值为学科网A2 B6 C8 D9学科网7计算:=学科网A1 B1 C2 D2学科网8已知直线a、b、c和平面a,则ab的一个必要不充分条件是学科网Aac且bc Bac且bc学科网Caa 且ba Da、b与a 所成角相等学科网9从8名学生(其中男生6人,女生2人)中按性别用分层抽样的方法抽取4人参加接力比赛,若女生不
3、排在最后一棒,则不同的安排方法种数为学科网A1440 B960 C720 D360学科网10若椭圆(ab0)的离心率,右焦点为F(c,0),方程ax2 + 2bx + c = 0的两个实数根分别是x1和x2,则点P(x1,x2)到原点的距离为学科网A B C2 D学科网第二部分非选择题(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分把答案填在题中横线上11等比数列 an 中,若a1,a7,a4 成等差数列,则数列 an 的公比为 学科网12 的展开式中常数项等于 学科网13已知不平行于x轴的直线y = kx + b(b0)与抛物线x2 = 2py(p0)交于A、B两点,点A、B到
4、y轴的距离的差等于2k,则抛物线的焦点坐标为 学科网14若函数_。15设A、B、C是球面上三点,线段AB = 2,若球心到平面ABC的距离的最大值为,则球学科的表面积等于 学科网三、解答题:本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(本题满分13分)在ABC中,角A,B,C所对的边长分别是a,b,c学科网(1)若sin C + sin(BA)= sin 2A,试判断ABC的形状;学科网(2)若ABC的面积S = 3,且c =,C =,求a,b的值17(本题满分13分)春暖大地,万物复苏目前已进入绿化造林的黄金季节,到处都能看到绿化工人(绿化员)和参加义务植树的百姓植树种
5、草、绿化环境的身影某8人(5男3女)绿化组,为了提高工作效率,开展小组间的比赛,现分成A、B两个小组,每个小组4人学科网(1)求A、B两组中有一组恰有一名女绿化员的概率;学科网(2)求A组中女绿化员人数 x 的数学期望18(本题满分13分)APBCDEG四棱锥PABCD中,侧面PAD底面ABCDABCD是矩形,BC = 2 CD = 2又 PA = PD,APD = 90,E、G分别是BC、PE的中点(1)求证:ADPE;(2)求二面角EADG的大小;19(本题满分12分)已知是函数的一个极值点。(1)求函数的单调区间;(2)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。20(本题满分12分)已
6、知双曲线(a0,b0)的两条渐近线互相垂直,F(2,0)是它的一个焦点(1)求双曲线的方程;(2)过点F作互相垂直的两条直线l1、l2,l1交双曲线于A、B两点,l2交双曲线于C、D两点,求的值21(本题满分12分)已知数列满足:. (1)证明:是等比数列。 (2)设,试推断是否存在常数A,B,C,使对一切都有成立?说明你的理由; (3)求证:重庆市大足中学高2009级第三次诊断性测试数学(理科)试题参考解答一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分DABC BDAD CA二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11q = 1或 12 13(0,) 1416 1516p三、解答
7、题:本大题共6小题,共75分16(1)由题意得 sin(B + A)+ sin(BA)= sin 2A, sin B cos A = sin A cos A,即 cos A(sin Bsin A)= 0, cosA = 0 或 sin B = sinA A 因A,B为三角形中的角,于是或B = A所以ABC为直角三角形或等腰三角形 (2)因为ABC的面积等于 3,所以 ,得 ab = 12由余弦定理及已知条件,得 a2 + b2ab = 13联立方程组 解得或 17(1)设“A、B两组中有一组恰有一名女绿化员”为事件A1,则 (2)x 可取0,1,2,3 , 所以 APBCDEGOF18(1)
8、如图,取AD的中点O,连结OP,OE,于是OPAD 侧面PAD底面ABCD, OP面ABCD E是矩形ABCD的边BC的中点, OEAB, OEAD,从而 ADPE 4分(2)取OE的中点F,连结FG,OG,则 FGOP, FG面ABCD,ADOG, GOE就是二面角EADG的平面角 FG =OP =,OF =CD =, GOE = 45,即二面角EADG的大小为45另解(2) 以O为原点,OE、OD、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,1,0),D(0,1,0),E(1,0,0),G(,0,), ,1,),1,)设平面ADG的一个法向量为n1 =(x1,y1,z1),
9、则 且 ,于是y1 = 0,令 x1 = 1,得 n1 =(1,0,1)显然平面ADE的一个法向量可以为n2 =(0,0,1) cos=, = 135由题图可知二面角EADG的大小为4519(1)因为 所以 因此 当时,当时,所以的单调增区间是。的单调减区间是(2)由(1)知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时,。所以的极大值为,极小值为因此 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点,当且仅当。因此,的取值范围为。20(1) 双曲线的渐近线方程为, ,得 a2 = b2,于是 c2 = a2 + b2 = 2a2 = 4,因此 a2 = 2,b2 = 2所以双曲线的方程为
10、3分(2) 当直线l1、l2其中一条与x轴垂直,不妨设l1x轴时,则, , 5分 当直线l1、l2都不与x轴垂直时,设l1:y = k(x2),k0,则 l2:由 消去y,整理得(k21)x24k2x + 4k2 + 2 = 0 l1与双曲线有两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2), ,且 得 k1又 y1y2 = k (x12) k (x22), (1 + k2 )(x12) (x22) = (1 + k2) x1x22(x1 + x2) + 4 = 以代k得 , 综合,得 21(1)由已知(2分)是公比为2的等比数列,又(4分)(2)(6分)若恒成立.,故存在常数A、B、C满足条件(9分)(3)(11分)