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1、 目录引言.2第一章泰勒公式31.1泰勒公式31.2泰勒公式余项的类型4第二章泰勒公式的实际应用52.1利用泰勒公式求极限52.2泰勒公式在求导数的应用62.3关于估计中的应用72.4在近似计算中的应用92.5用泰勒公式来证明不等式92.6泰勒公式在积分等式的证明中应用11总结11参考文献12致谢13泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是把比较复杂的函数展开成多项式，解释函数方面给我们提供更好的方法.本文主要采用举例分析的方法介绍了泰勒公式在求极限、导数、近似计算、不等式的证明、界的估计等.证明定积分、不等式、求高阶导数在某点的数值方面的应用.关键词：泰勒公式； 极限； 高阶导数； 不等式； 定积分
2、.引言：泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生.1709年后移居伦敦，获法学硕士学位.1717年.他以泰勒定理求解数值方程.泰勒的主要著作是1715年出版的“正的和反的增量方法”，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的著名定理泰勒定理：式内V为独立变量的增量，及为流数.他假定Z随时间均匀变化，则为常数.
3、上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里牛顿插值公式发展而成的，当 x=0 时便称作马克劳林定理.1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成.泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展开成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论奠基者.泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物品问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要.他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了弦振问题之先河.此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等.
4、第一章泰勒公式1.1泰勒公式对于一元函数，如果它在点处及其附近存在直到阶的导数，则它在点附近可以表达成.这就是泰勒公式，其中称为泰勒余项，它有多种表达式.泰勒公式为一元函数的分式提供了一个非常有力的工具，它使得人们可以用高阶导数更精细地刻画函数.它是一元函数微分学的重要内容之一.与此类似，对于多元函数，也可以给出泰勒公式.定理：设函数定义于中的某个区域上.点并且于点的某个领域内存在直到阶的连续偏导数，则在点附近有其中,并且，余项有渐近表达式，其中，微分表达式，其中，积分表达式已知一个函数，如何把它表示成我们所需要的多项式呢？先考虑多项式函数它具有任意阶连续导数，且当时，经过简单的计算可知.这个
5、多项式的系数同它的各阶导数之间有如下的关系；如果把这个多项式按照的幂式重新写出来，即，则系数同的各阶导数之间的关系经过计算易知为 :.再考虑是一般的函数设它在点具有直到阶的连续导数，这时总可以作出如下的多项式.如果已给函数是次多项式，那么由上面的讨论，与完全相同，因而对的研究可以用对的研究来代替.是用及其各阶导数在点的数值来表示的另一个多项式，称其为多项式的泰勒公式.泰勒定理：若函数满足如下条件：（） 在闭区间上函数存在直到阶连续导数，（） 在开区间内存在的的阶导数，则对任何，且，至少存在一点，使得式.泰勒中值定理：若函数在开区间有直到 阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于多项式
6、和一个余项的和：其中这里在 和之间，该余项称为拉格朗日型的余项.1.2泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项，仅表示余项是比（当时）高阶的无穷小.如，表示当时，用近似，误差（余项）是比高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项（也可以写成）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.（1）带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式如果函数在点的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点,有当时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin)公式.即（2）带有拉格朗日(Lagra
7、nge)型余项的泰勒公式如果函数在点 的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点, 有(介于与之间）.第二章泰勒公式的实际应用2.1利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可用某巧的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷，用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的代替来计算极限，我们知道当等，这种等式价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开式至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小法相结合，问题又能进一步简化.例1.求极限解：当时，因此这说明用泰勒公式可以估计无穷小量的阶，从而计算一些极限.例2.求极限解：2.2泰勒公式在求导数的应用利用函数的
8、泰勒公式（级数）展开式，求函数在一点出的高阶导例3.设在上三次可到，试证：，使得分析 这与泰勒公式有一定的差别，我们分析其差别可以找到问题解决的途径.式（1）中有导数项，这就使我们以为，要用泰勒公式去解决此问题时，必须将函数在 处展开，而取或有望处理（1）项中的三项，只剩一项三阶导数项留待处理.这样，我们便有，分别取，得由式（3）、式（4）得显然 ， 在 与 之间 .由导数的介值定理知使得代入式（5）即得证.例4.设函数在区间上二阶可导，且在上有，求证：在上有.分析 这里涉及到的一阶，二阶及函数本身的关系问题，这类问题借助于泰勒公式处理较为方便.由于问题中具有二阶可导性，可以用带拉格朗日型余项
9、的泰勒公式.注意到拉格朗日型泰勒公式成立的范围：可以取到闭区间的端点.这样就有，时，在，之间.取得，.（1），.（2）由式（1）与式（2）得利用三角不等式式（3）即可得之.2.3关于估计中的应用在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是些近似值，带有误差.这些数据误差在多次运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差.而确定计算结果所能达到的精度，显然是十分重要的，但这往往也是件很困难的事.不过，我们对计算误差做出一定的定量估计还是可以做到的.这里介绍一种常用的误差估计的一般公式，它是利用函数的泰勒展开的到的.先从较简单的二元函数开始.设和分别是和的近似值，是函数值的近似值，且 . 函数在点处的泰
10、勒展开式为式中，和一般都是小量，如果忽略高阶小量，即高阶的和，则上式可简化因此，的绝对误差式中，和前面的系数和分别是和对的绝对误差增长因子，它们分别表示绝对误差和经过传播后增大或缩小的倍数.由式可得出的相对误差式中，和前面的系数和分别是和对的绝对误差增长因子，它们分别表示绝对误差和经过传播后增大或缩小的倍数.例5.设在上有二阶导数，时，试证：当时.证：所以所以.2.4在近似计算中的应用例6.计算的近似值，要求误差不超过.解：为了误差不超过，我们应该取为多小？由于，而，故取. 这样，实际上，所以这样得到的的近似值满足误差要求.例7计算的值，精确到小数点后第四位.解：注意到其中，且余项故精确到小数
11、点后第四位得 .2.5用泰勒公式来证明不等式在高等数学中，常常要证明一些不等式，而且证明不等式的方法很多，在证明不等式时以得用泰勒公式，应用的关键在于根据题设的条件如何选择要展开的函数，在那一点的领域将函数展开，展开的阶次及余项形式，根据不同层次，不同水平，不同兴趣，学生的需要，写出比最高阶导数低一阶的泰勒公式，根据所给的高阶导数的大小或上下界对展开式进行缩放.例8.设，证明证明：令，因为应用泰勒公式知，存在使注意到此处所以.例9.设在二次可导，而且，试求存在，使.证：由于在的最小值不等于在区间端点的值，故在内存在，使，由费马定理知，.又（介于与之间）由于，不令和，有所以.当时，而当时，可见与
12、中必有一个大于或等于8.例10.用泰勒公式证明：证：设，则，即.取，得，得，得.将不等式两边相加，得取，则在，之间，故，即.2.6泰勒公式在积分等式的证明中应用（1）作辅助函数.（2）将在所需点处进行泰勒公式展开.（3）对了泰勒公式余项作使用处理.例11.设函数在在上具有连续的一阶导数，证明在内存在一点，使得证：令，则有在处的二阶泰勒公式为：其中在与之间.分别将代入上式，并相减，则得其中分别在与与之间不妨，设则考虑到的连续性反介值定理，可知之间至少存在一个使故 总结我们利用泰勒公式无论教学上的问题或者实际科学计算上的有些复杂的问题可以解决.我在这篇论文中利用泰勒公式讨论了比较复杂的函数展开成多
13、项式，求极限、导数、估计计算，证明积分等式、不等式等问题.我在写这篇论文过程当中感觉到自己重新学一遍数学分析中的关于泰勒公式内容我在这篇论文中利用泰勒公式讨论了求极限、导数、估计计算，证明积分等式、不等式等问题.我知道，我的这篇论文不是写的各位老师想象中的那么好.但是我希望各位老师多一点指教.参考文献1 马富明，高文杰.数学分析，第二册，北京；高等教育出版社.2005.72 梅加强.数学分析；多元微积分.北京；高等教育出版社.2011.73 欧阳光中，姚允龙，周渊.数学分析，上、下册.上海；复旦大学出版社.2003.104孙清华，孙昊.数学分析内容、方法与技巧，上.华中科技大学出版社.2003.75 王绵森，马知恩主编.高等数学基础.北京；高等教育出版社.2004.76 谢惠民，恽自求，易法槐，钱定边.数学分析习题课讲义，上册.高等教育出版社.2003.77 易大义，沈云宝，李有法 .计算方法，第二版，杭州：浙江大学出版社.2007.1(2013.1重印)8 齐成辉.泰勒公式的应用.陕西师范大学学报.2003.19 裴礼文.数学分析（上）.高等教育出版社.第二版.10 卢玉文.泰勒公式的应用.河北自学考试.2002.3期 13-1411 孟雅琴，叶正麟.泰勒公式的应用.高等数学研究.1997.3 12
