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1、第3章 线性电阻电路的基本分析方法和电路定理,3.1 支路电流法 3.2 节点分析法 3.3 回路分析法 3.4 叠加定理 3.5 置换定理 3.6 戴维南定理与诺顿定理 *3.7 互易定理 3.8 电路的对偶性 习题3,3.1 支 路 电 流 法 支路电流法是以电路中各支路电流为未知量(求解对象)，根据元件的VAR和KCL、KVL约束关系，列写独立的KCL方程和独立的KVL方程，解出各支路电流。如果有必要，则进一步计算其他待求量，如电压或功率等。 现以图3.1-1所示电路为例，说明支路电流法分析电路的全过程。在本电路中，支路数b=3，节点数n=2，网孔数m=2，共要列出3个独立方程。 (1)
2、 选定各支路电流参考方向标示于图中。 (2) 根据KCL建立节点电流方程。 节点a： i1i2i3=0 (3.1-1) 节点b： i1+i2+i3=0 (3.1-2),图3.1-1 支路电流法示意图,(3) 根据KVL，建立回路电压方程。 该电路有三个回路，在列回路电压方程前，先将回路的绕行方向标示于图中。 回路： R1i1+R3i3=us1 (3.1-3) 回路： R2i2R3i3=us2 (3.1-4) 回路： R1i1+R2i2=us1us2 (3.1-5),【例3.1-1】 电路如图3.1-2所示，试求各支路电流。 解 选定各支路电流的参考方向和回路的参考方向，并标示于图中。 该电路中
3、，节点数n=2，网孔数m=2。应用基尔霍夫定律列出一个独立节点电流方程和两个独立回路电压方程如下： I1=I2+I3 2I1+1I3=6 4I21I3=2 解之，得 I1=2 A, I2=0 A, I3=2 A,图3.1-2 例3.1-1用图,3.2 节 点 分 析 法 3.2.1 节点电压 下面以图3.2-1所示的直流电路为例。这个电路中有4个节点、6条支路，标明各支路电流参考方向，如图3.2-1所示。应用基尔霍夫电流定律，对这4个节点建立KCL方程，有： 节点1： i2i1is6=0 节点2： i4+i3i2=0 节点3： i5+is6i3=0 节点4： i1i4i5=0,图3.2-1 节
4、点分析法用图,3.2.2 节点方程 下面以图3.2-1所示电路为例来阐明节点方程的导出。 首先选定参考节点，这里选节点4为参考节点，并标明各支路电流的参考方向，如图3.2-1所示。 然后根据KCL对独立节点1、2、3列写KCL方程(节点电流方程)，设流出节点的电流取正号，流入节点的电流取负号，则有 i2i1is6=0 节点1 i4+i3i2=0 节点2 i5+is6i3=0 节点3,(3.2-1),根据欧姆定律，将各支路电流用节点电压表示，即,(3.2-2),将式(3.2-2)代入式(3.2-1)中，得,(3.2-3),式(3.2-3)经移项整理可得,(3.2-4),对于只含独立源和电阻的电路
5、，建立像式(3.2-4)这样的一组节点方程是很容易的。观察式(3.2-4)与对应的电路图3.2-1，可概括得出具有三个独立节点电路的节点方程的一般形式： G11u1+G12u2+G13u3=is11 (3.2-5(a) G21u1+G22u2+G23u3=is22 (3.2-5(b) G31u1+G32u2+G33u3=is33 (3.2-5(c),【例3.2-1】 电路如图3.2-2所示，求各支路电流。,图3.2-2 例3.2-1用图,解 (1) 选参考节点，设节点电压。 该电路有两个节点，选其中一个为参考节点(本例选节点2为参考节点)，标以接地符号“”，如图所示。设节点1的节点电压为u1。
6、 (2) 按节点方程的一般形式列写节点方程。 通常用节点分析法建立节点方程时，可以先算出各独立节点的自电导、互电导以及流入节点的电流源电流的代数和，再代入节点方程的一般形式中，从而写出节点方程。另外，若电路中有理想电压源串联电阻的支路，则利用实际电源的等效变换，将实际电压源模型等效为实际电流源模型。本例电路只有一个独立节点，故仅需对节点1列写节点方程：,将上述数据代入式(3.2-5)(节点方程的一般形式)，得节点方程为 1.5103 u1=1.5103 (3) 解方程求出节点电压。 解上述方程得 u1=1 V,(4) 由求得的节点电压，根据支路的特性方程，求出各支路电流。,【例3.2-2】 电
7、路如图3.2-3所示，用节点分析法求电流i和电压源产生的功率。,图3.2-3 例3.2-2用图,解 本题电路有三个节点，选其中一个节点为参考节点，其余两个节点为独立节点，标示于图中。独立节点1和节点2的节点电压分别为u1和u2。节点方程如下： 节点1： 节点2： 解之，得 u1=9 V u2=8 V,接下来由求得的节点电压，求解电流i和电压源产生的功率。电流为 设流过4 V电压源支路的电流为i1，参考方向标示于图中，则4 V电压源的功率为 即4 V电压源产生的功率为8 W。,3.2.3 特殊电路节点方程的处理方法 1. 含理想电压源电路的节点方程 【例3.2-3】 电路如图3.2-4所示，试列
8、写其节点方程。,图3.2-4 例3.2-3用图,解 本题电路中含有一个理想电压源支路。 (1) 若原电路没有指定参考节点，则可采用如下处理方法：选理想电压源的一端作为参考节点，例如本题选节点4为参考节点，这样u2=us1，于是无需再对节点2列节点方程，即减少了一个节点方程的列写。本题所列的节点方程如下： 节点1： (G1+G2)u1G2u2=is2 节点2：u2=us1 节点3：G3u2+(G3+G4)u3=is2,(2) 若原电路的参考节点已给定，且不是理想电压源的端节点，这种情况下的处理方法为：设流过理想电压源支路的电流为is1(这是因为节点方程是根据KCL列写的)，在列写节点方程时，理想
9、电压源支路可当作理想电流源is1对待，这样还需要增加一个补充方程，即理想电压源电压与节点电压相联系的方程。例3.2-4说明了该处理方法。,【例3.2-4】 电路如图3.2-5所示，试列写其节点方程。,图3.2-5 例3.2-4用图,解 此电路含有两个理想电压源支路，而且它们的一端并不接到一个共同节点上，因此不可能使两个理想电压源的某一端都同时接地(为参考节点)。对于这类问题可采用如下处理方法： (1) 选取其中一个理想电压源的一端作为参考节点。例如，本题选节点4为参考节点，这样u2=us1，从而减少了对节点2列写节点方程。 (2) 设流过另一个理想电压源的电流为is2，参考方向标示于图中(因节
10、点方程是依据KCL列写的节点电流方程，所有与该节点相连的每一支路电流都必须计算在内)，并增列一个补充方程，即理想电压源电压与节点电压相联系的方程。 本题us2=u1u3。,对本题所示电路列节点方程和补充方程如下： 节点1：(G1+G2)u1G2u2=is2 节点2：u2=us1 节点3：G3u2+(G3+G4)u3=is2 补充方程：us2=u1u3,2. 含受控源电路的节点方程 对含受控源的电路列写节点方程时，可先将受控源按独立源处理，写出节点方程。所不同的是，因多了一个未知量(受控源的控制量)，故需增列一个补充方程，即将受控源的控制量用节点电压表示的方程。 【例3.2-5】 电路如图3.2
11、-6所示，求电流i。 解 本题电路含有两个节点，选节点2为参考节点，标于图中。此电路含有受控源，将受控源暂时看做独立源，列写节点方程如下：,图3.2-6 例3.2-5用图,节点1： 上式方程有两个未知量，需再列一个补充方程，将控制量i用节点电压表示： 联立求解上述两个方程，得 u1=13 V i=1 A,【例 3.2-6】 试用节点分析法求解图3.2-7所示电路中受控电流源的端电压u。,图3.2-7 例3.2-6用图,解 本题电路含有一个理想电压源支路，故选取理想电压源的一端(节点3)为参考节点。此电路含有受控源，按上例所述方法列写节点方程和补充方程： 节点1： (2+3)u13u2=3+10
12、i1 节点2： u2=5 补充方程： i1=2u1 解上方程组，可得 u2=5 V,于是有 【例3.2-7】 电路如图3.2-8所示，试用节点分析法求节点电压u1、 u2和u3(参考节点已指定)。,图3.2-8 例3.2-7用图,解 原电路已指定了参考节点，就不能另选参考节点。这种情况下，需设流过理想电压源支路的电流为is，参考方向示于图中。列写节点方程和补充方程如下： 节点1： (4+4)u14u3=is 节点2： is+2i=8 节点3： 4u1+(4+4)u3=2i 补充方程： u1u2=2 i=4u1 解上述方程组，可得,【例3.2-8】 电路如图3.2-9所示，试用节点分析法求支路电
13、流i和受控电流源端电压u。,图3.2-9 例3.2-8用图,解 本题电路含有一个理想电压源，选取理想电压源的一端(节点4)为参考节点，按前几例所述的处理方法列写节点方程和补充方程。只是这里要注意，在列写节点方程之前，需对电路进行等效化简，即与理想电压源并联的元件或单口电路，对端口以外的电路而言，都是多余的，可予以断开；与理想电流源串联的元件或单口电路，对端口以外的电路而言，都是多余的，可予以短接。所以，在列写节点方程时，与受控电流源串联的1 电阻不应考虑。 节点1：u1=12 节点2：,节点3： 补充方程： 解方程组，可得 u1=12 V, u2=9 V, u3=10 V, i=1 A 求受控
14、电流源端电压u时，因分析涉及到等效化简的单口电路内部，故需将被短接的1 电阻恢复。由原电路可求得 u=u3+13i=u3+3i=10+31=13 V,3.3 回 路 分 析 法 与节点分析法一样，回路分析法同样是分析和计算线性电路的一种重要方法。节点分析法是以一组完备的独立节点电压为变量来建立电路方程的，而回路分析法是以一组完备的独立回路电流为变量来建立电路方程的，其目的均是减少联立求解电路方程的个数。 3.3.1 回路电流 下面以图3.3-1所示的电路为例介绍回路电流。,图3.3-1 回路分析法用图,3.3.2 回路方程 本节以图3.3-1所示的电路为例来阐明回路方程的导出。首先选定独立回路
15、，并标明各回路电流的参考方向，如图3.3-1所示。然后根据KVL对三个独立回路列写KVL方程(回路电压方程)，可得： 回路iA： R1iA+R4(iAiC)+R2(iAiB)=us2+us1 回路iB： R2(iBiA)+R5(iBiC)+R3iB=us2 回路iC： R6iC+R5(iCiB)+R4(iCiA)=0,经整理得,(3.3-1),观察式(3.3-1)与对应的电路图3.3-1，可概括得出具有三个独立回路电路的回路方程的一般形式：,(3.3-2),【例3.3-1】 电路如图3.3-2 所示，试列写其回路方程，并求各支路电流。,图3.3-2 例3.3-1用图,解 (1) 确定独立回路数，选定回路电流方向。 本题电路有两个网孔，选网孔为独立回路，且设网孔电流的方向一律为顺时针方向，如图3.3-2所示。 (2) 对独立回路按回路方程的一般形式列写回路方程。 回路iA： (2+1)iA1iB=2 回路iB： 1iA+(3+1)iB=3 整理有 3iAiB=2 iA+4iB=3,(3) 解方程得各回路电流。解上述方程组，得 (4) 由回路电流求解各支路电流。 各支路电流为,【例3.3-2】 电路如图3.3-3所示，试列写其回路方程。,图3.3-3
