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1、二、平面曲线弧长,1、平面曲线弧长的概念,弧长元素,弧长,2、直角坐标情形,解,所求弧长为,解,曲线弧为,弧长,3、参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,曲线弧为,弧长,4、极坐标情形,解,解,三、立体的体积,1、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这
2、直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,2、旋转体的体积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,解,解：,解,(9),(10),补充,利用这个公式，可知上例中,薄壳法,解,体积元素为,28,内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,3. 已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,绕 y 轴 :,(薄壳法),X型区域,绕 x 轴 :,绕 y 轴 :,Y型区域,30,例,解：,求曲线,所围图形的面积.,显然,面积为,同理其它.,又,故在区域,例. 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,例. 求连续曲线段,解:,的弧长.,例 求位于曲线,与直线 y = 2 围成的,x = 0 到 x = 2 的一块平面图形，,绕 y 轴旋转所产,生的旋转体体积Vy。,解 先求簿圆柱壳体的体积,其高,从,34,设平面图形 A 由,与,所确定 , 求,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 .,提示：,选 x 为积分变量.,旋转体的体积为,例.,若选 y 为积分变量, 则,
