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1、13.1. 两根圆截面杆材料相同,尺寸如图所示,一根为等截面杆,一根为变截面杆，试比较两杆的变形能。解：方法 1:两杆的变形 () ()22 221 3/8/44 7 a bPLPL PLl lEAdEd外力的功 2 2()() ()()17 228aabbWlWldd功能原理 2 2()()()() abPLPLUUEE方法 2:两杆的内力 ()() abN变形能 222() 2() 22/438/78/abLPLUEAdEPd13.2. 图示杵架各杆的材料相同截面面积相等，在 P 力作用下，试求桁架的变形能。解：(1) 求约束力l3l/8d3l/8d2d2dl/4PP(a) (b)A BD
2、l lClPXAYA RB上海理工大学 力学教研室 10 0 2 2 AABBAXPXPMRlRYY(2) 分析铰 B 2 2BDBCPPNRR(3) 分析铰 D 02DABDDCPNN(4) 分析铰 C 2CABCPN(5) 桁架的变形能 2222221 10.957i BCACBDADlUlllNlEPPPlllAEE 13.3. 计算图示各杆的变形能。解：(b)AM(b)BEIC2l/3l/3dsdEIR(c)PBAOBRBNBDNBCRBNBDNBC45oD NDBNDANDCCPNCBNCA PNCBNCA上海理工大学 力学教研室 2方法 1：(1) 查表得 C 截面的转角 2224
3、3699MllMllEIEI(2) 由功能原理 218ClUWI方法 2(1) 列出梁的弯矩方程 1122()Mxl(2) 求弯曲变形能 22222/310/3()()8161l lMxxllMlUddEIIEII(c)(1) 列出梁的弯矩方程 PRMsin)(2) 求弯曲变形能 2 2/203()(i)8lUdsdEIEIP13.4. 传动轴受力情况如图所示，轴直径为 40 mm，E=210 GPa，G=80 GPa。试计算轴的变形能。RPBOQ()M()N()x1AMBEICM/l M/lx2上海理工大学 力学教研室 3解：(1) 传动轴受力 0.5 0.18 ABABZkNYkN(2)
4、弯矩方程和扭矩方程 0y zMxxMxTx(3) 变形能 2220.20.20.20.20.2223322942945188.1.0.518./6801./.64 yzPUdddEIEIGIxxJ(4) 使用功能原理求解本题 33 32232294 94121/48860. 80.60621./41/3. yzzy yzzyPPUWPffTlPlllTlEIIGIEIGIJ 13.6. 试用互等定理求跨度中点 C 的挠度，设 EI=常量。A B(a)DCal/2 l/2Pl/2 l/2PBCA(b)A B200C2000.08kN.m0.36kN1kNA BYAC0.08kN.m0.36kN1
5、kN0.08kN.mZAZB YB上海理工大学 力学教研室 4解：(a)(1) 将 P 力移到 C 截面处，如下图(2) 由位移互等定理 222116CBPlalfaEII方向向上(b)(1) 将 P 力移到 C 截面处，如下图(2) 由位移互等定理 32321 /2/548CCPlll lPlffEIIEI方向向下13.8. 车床主轴可简化成 EI=常量的当量轴，如图所示，试求在载荷 P 作用下，截面 C 的挠度和前轴承 B 处的截面转角。解：(1) 约束反力 15 4ABRP(2) 弯矩方程 11221 4MxxP(3) 在 C 处作用单位集中力 11221 4xx截面 C 的挠度2A B
6、 DCP1PBCA 2 1A B CaP4ax1x2RA RBA B C1x1x21/45/4上海理工大学 力学教研室 51 21 121223410 0 54 Cl la aMxxMfddEIEIPxP PaEI(4) 在 B 处作用单位集中力偶 212210 4Mxxa截面 B 的转角 1 2212224 20 443Bl la MxddEIEIPxPaa顺时针转向13.9. 试求图示各梁截面 B 的挠度和转角。EI=常量解：(1) 在 B 处作用虚加力 Pf和 Mf，并列出弯矩方程 2112 2()()fff fxPMqlaxM(2) 上式分别对 Pf和 Mf求偏导数 122()() )
7、 1f ff fxlPx(3) 用卡氏定理求挠度和转角alqBCA(a)x1MfqBCAx2PfA B Cx1x21/4a11/4a上海理工大学 力学教研室 61 221 21 210 2201 210()()()()() ()(Bl lf f flaff faBl lf f flaffUMxMxdEIPEIPqxlaxlaxdIUMMdEEIPxxI2 20()(1)f faqPlaxdxI（4）令上两式中的 Pf和 Mf为零 22 320320()(4)1()6aBaqqalaxdlEIEII挠度和转角的方向与虚加力的方向一致13.9. 图示刚架各杆的的 EI 相等。试求 A 的位移和截面
8、 C 的转角。解：(a) 应用莫尔定理(1) 刚架各段的弯矩方程 123 0 MxPxMxPb(2) 在 A 处垂直方向作用单位集中力 112130 MxxMxaA 的垂直位移A Cx1x2 x31A Ca bhx1x2 x3P(a)上海理工大学 力学教研室 71 2 31 1213130 AVl l lhMxxMxMdddEIEIEIPbabh(3) 在 A 处水平方向作用单位集中力 212230 0 MxxMxA 的水平位移 1 2 3212 23230 Hl l lh xdddEIEIEIPbxbh(4) 在 C 处作用单位集中力偶 31323 0 1MxxMxC 截面的转角 1 2 3
9、3132331300+=l l lbh xdddEIEIEIPbhPxbxI顺时针转向13.18. 图示刚架各部分的 EI 相等，在一对 P 力作用下，求 A、 B 两点间的相对位移。解：(1) 由于结构和载荷对称，取刚架一半分析A Cx1x2 x31A Cx1x2 x31CA Px1x2CBADP Pha上海理工大学 力学教研室 8(2) 弯矩方程 12 MxPxPh(3) 应用卡氏定理 1 21 223/100 36Al lhaxxddxEIPEIPhahaIEI(4) A、 B 间的相对位移 23ABEIA、 B 两点相互靠近。13.16. 图示桁架各杆的材料相，截面面积相等，在载荷 P
10、 作用下，试求节点 B 与 D 间的相对位移。解：(1) 在 B 处作用虚加力 Pf，并求出约束反力 22 AfADfXPYPNP(2) 求各杆的轴力 12345 20f f ffNP(3) 上式分别对 Pf求偏导数ABlPlCDNDPfAB PCDYAXA12345上海理工大学 力学教研室 93 512 42 1 0 f f f ffNNNPPP(4) 用卡氏定理求 B 点沿 BD 方向的位移5122()()( 22()10iiDifff ff flUEAPlPll lEAEA (5) 令上式中的 Pf为零()()20)0(2).72BDlPlPllEA方向为 B 向 D 靠近13.20.
11、图示简易吊车的撑杆 AC 长为 2 m，截面的惯性矩 I=8.53106 mm4。拉杆 BD 的A=600 mm2。P=2.83 kN。如撑杆只考虑弯曲影响，试求 C 点的垂直位移，设 E=200 GPa。解：(1) 求出约束反力 22 2AAYRP(2) 求 BD 杆的轴力和 AC 杆的弯矩112222 () ()(1)2NPMxxxPABCD45o45o1mRD x1PABCD45o45oXAYAx2上海理工大学 力学教研室 10(3) 用卡氏定理求 C 点垂直位移 1 21 210221 20()()2()()()20.47.530.663BDCVl lUNlMxMxdEAIEIPIxx
12、dEPPmAIAI方向向下。13.23. 平面刚架如图所示。刚架各部分截面相同，试求截面 A 的转角。解：(1) 求各杆的弯矩方程 112233() ()3cos) ()MxPxPlMxP(2) 在梁上 A 处单独作用一单位力偶，并列出弯矩方程3l4lA BC DPx1A BC DPx2x31 x1A BC Dx2x3上海理工大学 力学教研室 11123() ()1 ()1MxxM(3) 用莫尔定理求 A 截面的转角1 2 331235 41 2300 0222()()() 13cos199Al l llxdddEIEIEIPPxPxllllII转角的方向与单位力偶方向相同。13.25. 等截
13、面曲杆 BC 的轴线为四分之三的圆周，如图所示。若 AB 可视为刚性杆，在 P作用下，试求截面 B 的水平位移及垂直位移。解：(1) 写出曲杆的弯矩方程 cosMPR(2) 在 B 处垂直方向作用单位集中力 1cosMRB 的垂直位移 3/2103 1cs.6 4Vl Pds RdEIEIPRI (3) 在 B 处水平方向作用单位集中力PBACPBAM()dRBAC1BA2MdBAC1 BA d11上海理工大学 力学教研室 122sinMRB 的水平位移 3/2203 cosi BHl PdsRdEIEIPR 13.28. 图示折轴杆的横截面为圆形，在力偶矩 m 作用下，试求自由端的线位移和角
14、位移。解：(1) 求水平杆的扭矩方程和垂直杆的弯矩方程 12() ()TxmMx(2) 在自由端分别单独作用一单位力和单位力偶，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程lhmx11x2x11x2mx1x2上海理工大学 力学教研室 131122()0 ()TxMx(3) 用莫尔定理求自由端的位移 1 2112240()()3Hl lphdxdxGIEImhE1 221221 4400()()36l lpl hpTxMxddIIlmhlhGIGEd 自由端的线位移和角位移和方向与单位力和单位力偶方向一致。13.26. 图示曲拐的自由端 C 上作用集中力 P。曲拐两段材料的相同，且均为同一直径的圆截面杆，试求 C 点的垂直位移。解：(1) 求 BC 杆的弯矩方程及 AB 杆的扭矩方程和弯矩方程122() () ()MxPxTxPa(2) 在 C 端单独作用一单位力，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程 122(
