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1、上海市虹口区2018届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知，且，则实数的范围是 2. 直线与直线互相平行，则实数 3. 已知，则 4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为、，则 5. 已知函数，则 6. 从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为 7. 已知数列是公比为的等比数列，且、成等差数列，则 8. 若将函数表示成，则的值等于 9. 如图，长方体的边长，它的外接球是球，则、这两点的球面距离等于 10. 椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 11. 是不超过的
2、最大整数，则方程满足的所有实数解是 12. 函数，对于且（），记，则的最大值等于 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. B. C. D. 14. 在Rt中，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为（ ）A. B. C. D. 15. 直线与圆交于、两点，且，过点、分别作的垂线与轴交于点、，则等于（ ）A. B. 4 C. D. 816. 已知数列的首项，且，是此数列的前项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在和使得 B. 不存在和使得C. 不存在和使得 D. 不存在和使得三. 解答题（本大题共5题，共14+14+
3、14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，高等于3，点、为所在线段的三等分点.（1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；（2）求异面直线、所成的角的大小.18. 已知中，角、所对应的边分别为、，（是虚数单位）是方程的根，.（1）若，求边长的值；（2）求面积的最大值.19. 平面内的“向量列” ，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”， 称为“公差向量”，平面内的“向量列” ，如果对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”.（1）如果“向量列” 是“等差向量列”，用和“公差向量” 表示；（2）已知是“等差向量列”
4、，“公差向量” ，是“等比向量列”，“公比” ，求.20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆，点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”.（1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是；（2）设、是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线、分别交轴于点、，过的椭圆的“切线” 交轴于点，证明：点是线段的中点；（3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线” 与直线、所成夹角是否相等？并说明理由.21. 已知函数（R，R），（R）.（1）如果是关于的不等式的解，求实数的取值范围；（2）判断在和的单调性，并说明理由；（3）证明：函数存在零点，使得成立
5、的充要条件是.上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知，且，则实数的范围是 【解析】画数轴，2. 直线与直线互相平行，则实数 【解析】由3. 已知，则 【解析】，4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为、，则 【解析】设三边为a、b、c，对角线为d，也可取正方体的特殊情况去求5. 已知函数，则 【解析】，6. 从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为 【解析】7. 已知数列是公比为的等比数列，且、成等差数列，则 【解析】，或8. 若将函数表示成，则的值等于
6、【解析】，9. 如图，长方体的边长，它的外接球是球，则、这两点的球面距离等于 【解析】外接球半径为1，球面距离为10. 椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为11. 是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是 【解析】当，；当，满足条件的所有实数解为或12. 函数，对于且（），记，则的最大值等于 【解析】在有4个周期，最大值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. B. C. D. 【解析】由，选B14. 在Rt中，点、是线段的三等分点，
7、点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为（ ）A. B. C. D. 【解析】建系，设，时取到最小值，此时，选C15. 直线与圆交于、两点，且，过点、分别作的垂线与轴交于点、，则等于（ ）A. B. 4 C. D. 8【解析】长为直径，经过原点，选D16. 已知数列的首项，且，是此数列的前项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在和使得 B. 不存在和使得C. 不存在和使得 D. 不存在和使得【解析】令，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B、C；令，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D，故选A. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，
8、直三棱柱的底面是等腰直角三角形，高等于3，点、为所在线段的三等分点.（1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；（2）求异面直线、所成的角的大小.【解析】（1）；（2）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为18. 已知中，角、所对应的边分别为、，（是虚数单位）是方程的根，.（1）若，求边长的值；（2）求面积的最大值.【解析】（1）解为，由正弦定理，；（2）画出ABC的外接圆可知，时，面积最大，为. 19. 平面内的“向量列” ，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”， 称为“公差向量”，平面内的“向量列” ，如果对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，
9、常数称为“公比”.（1）如果“向量列” 是“等差向量列”，用和“公差向量” 表示；（2）已知是“等差向量列”，“公差向量” ，是“等比向量列”，“公比” ，求.【解析】（1）；（2），错位相减求和为20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆，点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”.（1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是；（2）设、是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线、分别交轴于点、，过的椭圆的“切线” 交轴于点，证明：点是线段的中点；（3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线” 与直线、所成夹角是否相等？并说明理由.【解析】（1）设直线，联立椭圆，可证结论；（2），同理，即点是线段的中点（3）相等，由夹角公式，所以所成夹角相等. 21. 已知函数（R，R），（R）.（1）如果是关于的不等式的解，求实数的取值范围；（2）判断在和的单调性，并说明理由；（3）证明：函数存在零点，使得成立的充要条件是.【解析】（1）；（2）根据单调性定义分析，在上递减，在上递增；（3）“函数存在零点，使得成立”说明成立，根据无穷等比数列相关性质，结合第（2）问，在上递减，在上递增，反之亦然. - 10 -
