《2001—2010年天津市大学数学竞赛(用于打印)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2001—2010年天津市大学数学竞赛(用于打印)（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、 填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1. 设，则 _ 。2. 已知的一个原函数为，则 _ 。3. _。4. 设a，b为非零向量，且满足（a + 3b）（7a 5b），（a 4b）（7a 2b），则a与b的夹角为_ 。5. 根据美国1996年发布的美国能源报告原油消耗量的估计公式为（单位：十亿桶/年）：，式中t的原点取为2000年1月。如果实测模型为：，则自1995年至2015年共节省原油 _ 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
2、选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 设函数其中是有界函数，则在点处（ ）。（A）极限不存在； （B）极限存在，但不连续；（C）连续但不可导； （D）可导。2. 设曲线的极坐标方程为，则在其上对应于点处的切线的直角坐标方程为（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。3. 设函数连续，则（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。4. 设为一函数的全微分，则下面正确的答案为（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。5. 设曲面，并取上侧为正，则不等于零的曲面积分为：（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。三、计算。（本题7分）四、设，求。（本题6分）五、对k的不同取值
3、，分别讨论方程在区间内根的个数。（本题7分）六、设a，b均为常数且，问a，b为何值时，有。（本题7分）七、设，证明：存在并求其值。（本题8分）八、设是区间上的函数，且，证明：，。（本题7分）九、设是由所确定的二元函数，求：，。（本题6分）十、求，其中曲线L是位于上半平面，从点到的部分。（本题7分）十一、计算，其中为由曲面与所围成的封闭曲面的外侧。（本题7分）十二、在曲面上求一点P，使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面所围空间区域的体积最小。（本题8分）2009年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）二、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）6. .7. 设
4、，则使存在的最大n = .8. .9. 设，若与OZ轴垂直，则= .10. 设L为正向圆周在第一象限中的部分，则 .二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 函数的第一类间断点的个数为（ ）。（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。2. 设与具有任意阶导数，且，则（ ）。（A）为函数的极小值； （B）为函数的极大值；（C）点（0,1）为曲线的拐点； （D）极值与拐点由确定。3. 设函数，又与都不存在，则下列结论正确的是（ ）。（A）若不存在，则必不存在；（B
5、）若不存在，则必存在；（C）若存在，则必存在； （D）若存在，则必不存在。4. 设具有2阶连续偏导数，。若是由方程所确定的在点附近的隐函数，则是的极小值点的一个充分条件为（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。5. 设L为折线的正向一周，则（ ）。（A）2sin2； （B）1； （C）0； （D）1。三、设函数 a 为何值时，在 x = 0点处连续； a 为何值时，x = 0为的可去间断点。（本题7分）四、设（n为正整数）， 求在闭区间0,1上的最大值M（n）； 求。（本题7分）五、计算。（本题6分）六、设对任意x，都有，且在x = 0点处连续，证明：在x = 0点处也连续。（本题6分）七、
6、设，计算。（本题7分）八、在椭球面上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相等的线段。（本题7分）九、设为连续函数，求证，其中 （本题7分）十、设函数在闭区间a,b上具有二阶导数，且，。证明：存在一点（a,b）使得。（本题7分）十一、设二元函数具有二阶偏导数，且，证明的充要条件为：。 （本题8分）十二、计算曲面积分，其中为空间区域边界曲面的外侧。（本题8分）2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）三、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）11. 设f (0)0，则 。12. 设函数由方程所确定，则曲线上对应于x = 0点处的切线方程为 。13. 。14. 函数
7、在点M (1,1,1,)处，沿曲面在该点的外法线方向的方向导数 。15. 设函数在区域上具有连续的二阶偏导数，C为顺时针椭圆，则 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则n等于（ ）（A）4； （B）3； （C）2； （D）1。2. 设是单调增的正数列，则数列（ ）（A）当时收敛； （B）当时收敛；（C）对任意均收敛； （D）对任意均发散。3. 设，则函数在点a处必（ ）（A）取极大值； （B）取极小值；（C）可
8、导； （D）不可导。4. 设函数在点处有，则下列结论正确的是（ ）（A）存在，但在点处不连续；（B）在点处连续；（C）；（D）都存在，且相等。5.设S为球面：，其取外侧为，则两个曲面积分全为零的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、对t的不同取值，讨论函数在区间上是否有最大值或最小值，若存在最大值或最小值，求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。（本题7分）四、设，其中，讨论函数在区间内零点的个数。（本题7分）五、过曲线上点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围平面图形D的面积。 求点A的坐标； 求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。（本题7分）六、设函数，其中是连续函数，且
9、。 求； 讨论的连续性。（本题7分）七、设函数在闭区间上具有连续的导数，且。 求； 证明。（本题7分）八、设二元函数具有二阶连续偏导数，证明：可经过变量替换化为等式。（本题6分）九、求的值，使两曲面：与在第一卦限内相切，并求出在切点处两曲面的公共切平面方程。（本题8分）十、计算三重积分，其中是由yoz平面内z = 0，z = 2以及曲线所围成的平面区域绕z轴旋转而成的空间区域。（本题7分）十一、计算曲线积分，其中曲线C：是从点A(1,0)到点B(1,0)的一条不经过坐标原点的光滑曲线。（本题8分）十二、求证。（本题6分）首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（数学类，2010）考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.一、 填空题（共8分，每空2分.）(1) 设，则=_.(2) 若关于的方程在区间内有惟一实数解，则常数_.(3) 设函数在区间上连续.由积分中值公式有 .若导数存在且非零，则的值等于_.(4) 设，则=_.二、（10分）设在内有定义，在处可导，且. 证明: .三、（12分） 设在上一致连续，且对于固定的,当自然数时.证明: 函数序列在上一致收敛于0.四、（12分） 设，在内连续，在内连续有界，且满足条件： (1) 当时，；(2) 在中与有二阶偏导数， , . 证明
