《2001—2010年天津市大学数学竞赛(用于打印)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2001—2010年天津市大学数学竞赛(用于打印)(65页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案(理工类)一、 填空:(本题15分,每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)1. 设,则 _ 。2. 已知的一个原函数为,则 _ 。3. _。4. 设a,b为非零向量,且满足(a + 3b)(7a 5b),(a 4b)(7a 2b),则a与b的夹角为_ 。5. 根据美国1996年发布的美国能源报告原油消耗量的估计公式为(单位:十亿桶/年):,式中t的原点取为2000年1月。如果实测模型为:,则自1995年至2015年共节省原油 _ 。二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
2、选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)1. 设函数其中是有界函数,则在点处( )。(A)极限不存在; (B)极限存在,但不连续;(C)连续但不可导; (D)可导。2. 设曲线的极坐标方程为,则在其上对应于点处的切线的直角坐标方程为( )。(A); (B);(C); (D)。3. 设函数连续,则( )。(A); (B);(C); (D)。4. 设为一函数的全微分,则下面正确的答案为( )。(A); (B);(C); (D)。5. 设曲面,并取上侧为正,则不等于零的曲面积分为:( )。(A); (B);(C); (D)。三、计算。(本题7分)四、设,求。(本题6分)五、对k的不同取值
3、,分别讨论方程在区间内根的个数。(本题7分)六、设a,b均为常数且,问a,b为何值时,有。(本题7分)七、设,证明:存在并求其值。(本题8分)八、设是区间上的函数,且,证明:,。(本题7分)九、设是由所确定的二元函数,求:,。(本题6分)十、求,其中曲线L是位于上半平面,从点到的部分。(本题7分)十一、计算,其中为由曲面与所围成的封闭曲面的外侧。(本题7分)十二、在曲面上求一点P,使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面所围空间区域的体积最小。(本题8分)2009年天津市大学数学竞赛试题参考答案(理工类)二、 填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)6. .7. 设
4、,则使存在的最大n = .8. .9. 设,若与OZ轴垂直,则= .10. 设L为正向圆周在第一象限中的部分,则 .二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)1. 函数的第一类间断点的个数为( )。(A)0; (B)1; (C)2; (D)3。2. 设与具有任意阶导数,且,则( )。(A)为函数的极小值; (B)为函数的极大值;(C)点(0,1)为曲线的拐点; (D)极值与拐点由确定。3. 设函数,又与都不存在,则下列结论正确的是( )。(A)若不存在,则必不存在;(B
5、)若不存在,则必存在;(C)若存在,则必存在; (D)若存在,则必不存在。4. 设具有2阶连续偏导数,。若是由方程所确定的在点附近的隐函数,则是的极小值点的一个充分条件为( )(A); (B);(C); (D)。5. 设L为折线的正向一周,则( )。(A)2sin2; (B)1; (C)0; (D)1。三、设函数 a 为何值时,在 x = 0点处连续; a 为何值时,x = 0为的可去间断点。(本题7分)四、设(n为正整数), 求在闭区间0,1上的最大值M(n); 求。(本题7分)五、计算。(本题6分)六、设对任意x,都有,且在x = 0点处连续,证明:在x = 0点处也连续。(本题6分)七、
6、设,计算。(本题7分)八、在椭球面上求一切平面,它在坐标轴的正半轴截取相等的线段。(本题7分)九、设为连续函数,求证,其中 (本题7分)十、设函数在闭区间a,b上具有二阶导数,且,。证明:存在一点(a,b)使得。(本题7分)十一、设二元函数具有二阶偏导数,且,证明的充要条件为:。 (本题8分)十二、计算曲面积分,其中为空间区域边界曲面的外侧。(本题8分)2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案(理工类)三、 填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)11. 设f (0)0,则 。12. 设函数由方程所确定,则曲线上对应于x = 0点处的切线方程为 。13. 。14. 函数
7、在点M (1,1,1,)处,沿曲面在该点的外法线方向的方向导数 。15. 设函数在区域上具有连续的二阶偏导数,C为顺时针椭圆,则 。二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)1. 设当时,是比高阶的无穷小,而是比高阶的无穷小,则n等于( )(A)4; (B)3; (C)2; (D)1。2. 设是单调增的正数列,则数列( )(A)当时收敛; (B)当时收敛;(C)对任意均收敛; (D)对任意均发散。3. 设,则函数在点a处必( )(A)取极大值; (B)取极小值;(C)可
8、导; (D)不可导。4. 设函数在点处有,则下列结论正确的是( )(A)存在,但在点处不连续;(B)在点处连续;(C);(D)都存在,且相等。5.设S为球面:,其取外侧为,则两个曲面积分全为零的是( )(A); (B);(C); (D)。三、对t的不同取值,讨论函数在区间上是否有最大值或最小值,若存在最大值或最小值,求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。(本题7分)四、设,其中,讨论函数在区间内零点的个数。(本题7分)五、过曲线上点A作切线,使该切线与曲线及x轴所围平面图形D的面积。 求点A的坐标; 求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。(本题7分)六、设函数,其中是连续函数,且
9、。 求; 讨论的连续性。(本题7分)七、设函数在闭区间上具有连续的导数,且。 求; 证明。(本题7分)八、设二元函数具有二阶连续偏导数,证明:可经过变量替换化为等式。(本题6分)九、求的值,使两曲面:与在第一卦限内相切,并求出在切点处两曲面的公共切平面方程。(本题8分)十、计算三重积分,其中是由yoz平面内z = 0,z = 2以及曲线所围成的平面区域绕z轴旋转而成的空间区域。(本题7分)十一、计算曲线积分,其中曲线C:是从点A(1,0)到点B(1,0)的一条不经过坐标原点的光滑曲线。(本题8分)十二、求证。(本题6分)首届全国大学生数学竞赛决赛试卷(数学类,2010)考试形式: 闭卷 考试时间: 150 分钟 满分: 100 分.一、 填空题(共8分,每空2分.)(1) 设,则=_.(2) 若关于的方程在区间内有惟一实数解,则常数_.(3) 设函数在区间上连续.由积分中值公式有 .若导数存在且非零,则的值等于_.(4) 设,则=_.二、(10分)设在内有定义,在处可导,且. 证明: .三、(12分) 设在上一致连续,且对于固定的,当自然数时.证明: 函数序列在上一致收敛于0.四、(12分) 设,在内连续,在内连续有界,且满足条件: (1) 当时,;(2) 在中与有二阶偏导数, , . 证明