第十章 无穷级数一、知识结构图与学习要求（一）知识结构图基本概念利用定义（部分和）收敛级数的基本性质常数项级数正项级数比较审敛法（包括极限形式）比值审敛法审敛法根值审敛法交错级数：莱布尼茨定理一般项级数：绝对收敛与条件收敛无穷级数基本概念收敛半径与收敛域幂级数和函数（并由此求某些常数项级数的和）函数项级数将函数展开成幂级数（泰勒级数）基本概念收敛性的判定：收敛定理（狄利克雷充分条件）傅里叶级数在对称区间上展开展开为傅里叶级数在区间上展开展开为正弦或余弦级数（二）学习要求（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件．（2）掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件．（3）掌握正项级数收敛性的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法．（4）掌握交错级数的莱布尼茨审敛法．（5）了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系．（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念．（7）理解幂级数的收敛半径的概念、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法．（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和．（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件．（10）掌握，，，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数．（11）了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式．二、内容提要（一）常数项级数1．概念（1）若级数的部分和数列有极限，即，则称无穷级数收敛，并称为它的和，记为；否则称它是发散的．（2）称级数≥为正项级数．称级数或（其中）为交错级数．（3）如果级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数发散，而级数收敛，则称级数条件收敛． 2．定理（性质）（1）几何级数： ，当时收敛，其和为，而当≥时发散．（2）级数：（是常数），当时收敛；而当时发散．特别地，当时，调和级数发散．（3）设级数和都收敛，则级数收敛．由此可知：a．若收敛，发散，则发散；b．若发散，发散，则收敛性不定；c．若与均绝对收敛，则绝对收敛；d．若绝对收敛，条件收敛，则条件收敛． （4）设级数收敛，为一个常数，则a．收敛且．（若，则级数发散．）b．对中的项任意加括号后所得的新级数仍收敛．（如果对级数的项加括号后所得新级数发散，则原级数发散．）（5）在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（6）如果级数绝对收敛，则级数必定收敛．3．方法（1）正项级数的审敛法：a．利用级数收敛的定义；b．利用级数收敛的充要条件：级数收敛部分和数列有界；c．比较审敛法；d．比值审敛法；e．根值审敛法；f．极限审敛法． （2）交错级数的审敛法：莱布尼茨定理．（3）一般项级数的审敛法：先转换为判别是否是收敛，若收敛，则原级数绝对收敛，然后判别是条件收敛还是发散．（二）函数项级数（主要讨论幂级数）1．概念 （1）由定义在区间I上的函数列所构成的表达式：称为定义在区间I的函数项级数，记为．（2）对于某个，如果收敛，则称是函数项级数的收敛点，收敛点的全体称为的收敛域；如果发散，则称是函数项级数的发散点，发散点的全体称为的发散域．（3）在收敛域上，函数项级数的和是的函数，记为，称为函数项级数的和函数，即有==，．（4）称为函数项级数的部分和，则在收敛域上有，称为函数项级数的余项．（5）形如的函数项级数称为的幂级数，而形如的幂级数称为的幂级数，其中称为幂级数的系数．（`6）如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个实数轴上都收敛，则必有惟一确定的正数存在，使得当时，幂级数绝对收敛，当时，幂级数发散，当与时，幂级数可能收敛也可能发散．此时称正数为幂级数的收敛半径．如果幂级数仅在处收敛，则它的收敛半径= 0；如果幂级数在整个实数轴上收敛，则它的收敛半径=． 开区间称为幂级数的收敛区间，而幂级数的收敛域是，，及其中之一．（7）如果函数在点的某邻域内具有各阶导数则的幂级数=称为函数的泰勒级数．特别取= 0，则级数变为，称此级数为麦克劳林级数．2．定理（性质）（1） Abel定理：如果幂级数当时收敛，则适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛；反之，如果幂级数当时发散，则适合不等式的一切使这幂级数发散．（2）设幂级数，如果，其中，是幂级数的相邻两项的系数，则该幂级数的收敛半径．▲注 定理中条件仅仅是求幂级数收敛半径的充分条件，而非必要条件．（3）幂级数的和函数在其收敛域上连续．（4）幂级数的和函数在其收敛域上可积，并有逐项积分公式 ===，．逐项积分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径．（5）幂级数的和函数在其收敛区间内可导，并有逐项求导公式，．逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径．（6） 设函数在点的某一邻域内具有各阶导数，则在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是的泰勒公式中的余项（是介于与之间的某个值）当时的极限为零，即．（7） 如果函数在点的某一邻域内能展开成泰勒级数，则是惟一的，即．3．方法（1）幂级数的收敛性判定.a．形如幂级数，利用阿贝尔定理．b．对于幂级数，只要令，就可以转化为幂级数，再利用阿贝尔定理求解． c．对于一般函数项级数的收敛性判定，通常是把看成常数，先讨论的收敛性，得到一收敛区间，再讨论该区间端点处的收敛性．（2）幂级数的收敛半径的求法.a．对于的幂级数，由或，得收敛半径．b．对于缺项的幂级数，不能用上述公式，而应直接使用函数项级数的比值法求极限，或使用根值法求极限．当时，幂级数收敛；当时，幂级数发散，从而根据幂级数收敛半径的定义求得收敛半径．（3）幂级数的收敛域的求法.求出幂级数的收敛半径后，再对时所得常数项级数判定其收敛性，最终求出收敛域，即区间，，和其中之一．（4）幂级数在收敛域内的和函数.a．熟知的一些常用级数的和函数： ．b．其次要善于利用适当的变量代换、幂级数的代数运算和幂级数在其收敛域内进行的逐项求导、积分运算，把所讨论级数化成其和函数是已知的幂级数的形式，并求其和；c．然后对应步骤b中所作运算再作相应的逆运算，即可求得原幂级数的和函数；d．但要注意，上述运算均应在幂级数的收敛区间内进行，故和函数的后面，必须注明收敛区间．因此，在求和函数之前要先求收敛域．（5）利用幂级数求某些常数项级数的和.根据该常数项级数的特点，构造出一个幂级数或几个幂级数的和，使其在收敛域中某一点的值恰好是这个常数项级数，然后再按照求幂级数和函数的方法求出幂级数的和函数，最后求出该和函数在处的值，即得所求常数项级数的和．（6）幂级数的运算.a．两个收敛的幂级数相加、相减或相乘，所得幂级数的收敛区间取原来两个幂级数的收敛区间的公共部分，而相除所得的幂级数的收敛区间则比原来两个幂级数的收敛区间小．b．对幂级数逐项求导或逐项积分所得的幂级数与原来幂级数有相同的收敛半径，但在点处，幂级数的敛散性可能发生变化，必须重新讨论．（7）函数展开成的幂级数.a．直接法.可分如下4步进行：第一步：求出函数的各阶导数如果在处某阶导数不存在，就停止进行．第二步：求出函数的各阶导数在处的值：第三步：写出幂级数或，并求出收敛半径．第四步：考察当在区间内时的余项的极限（在0与之间）是否为零．如果为零，则函数在区间内的幂级数展开式为=，其中．b．间接法.将所给函数拆成部分和的形式或者通过求导数、求积分将其化成其幂级数展开式为已知的函数（如及等），然后再利用这些函数的幂级数展开式进行逐项求导或逐项积分来达到将所给函数展开成幂级数的目的．这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项．但要注意，这种展开运算也是在幂级数的收敛区间内进行的，因此，最后必须注明幂级数的收敛域．（三）傅里叶级数1．概念（1）形如的级数叫做三角级数．（2）三角函数系{}中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零，即，，，，．称此三角函数系在区间上正交．（3）设函数在区间上可积，则，，称为函数的傅里叶系数．（4）由函数的傅里叶系数所构成的三角级数称为函数的傅里叶级数，记为.（5）设函数在区间上可积．当为奇函数时，的傅里叶系数为，，的傅里叶级数为，此时称其为正弦级数；当为偶函数时，的傅里叶系数为，，的傅里叶级数为，此时称其为余弦级数．（6）设函数定义在区间上并且满足收敛定理的条件，在开区间内补充函数的定义，得到定义在上的函数，使它在上成为奇函数（偶函数）．按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓（偶延拓）．2．定理（性质）（1）收敛定理（狄利克雷（Dirichlet）充分条件）：设是周期为的周期函数，如果它满足：在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，且在一个周期内至多只有有限个极值点，则的傅里叶级数收敛，并且其和函数满足：．（2）设周期为的周期函数满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开为，其中，，．a． 当为奇函数时，，其中．b． 当为偶函数时，，其中．三、典型例题解析●●例 1 判定下列级数的收敛性，若收敛，求其和．（1）；（2）；（3）．▲分析 （1）一般项是两项之差，前项的和可以通过消项来求得；（2）一般项需先拆项，然后前项的和可以通过消项来求得；（3）级数前项的和不容易求得，因此，不易求出．但级数前项的部分和和前项的部分和却容易求出，于是可求出和，从而可求出．解 （1）由于．故，即原级数收敛且其和为． （2）由于 ===．故，即原级数收敛且和为．（3）级数前项的部分和为 = ==，故，又因为，从而．故原级数收敛且和为．●●例 2 设级数收敛，问级数是否收敛？为什么？解 级数收敛，级数可能收敛也可能发散．如级数收敛，但级数却发散；又如级数收敛，级数也收敛．错误解答 由于级数收敛，所以，故，从而由比较审敛法知级数收敛．错解分析解误 的系数，则这 概念，掌握级数的基本性质及收敛 比较审敛法只适用于正项级数，而题目中并未告知级数是正项级数，故此种解法是错误的．●●例 3 判别下列级数是否收敛？（1）； （2）； （3）； （4）．▲分析 （1）所给级数是。