《2018学年江苏省扬州市高三第一学期期末调研测试数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018学年江苏省扬州市高三第一学期期末调研测试数学试题（解析版）（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018届江苏省扬州市第一学期期末调研测试高三数学试题一、填空题1若集合，则_【答案】【解析】2若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为_【答案】-6【解析】是纯虚数，则3若数据31，37，33，35的平均数是34，则这组数据的标准差是_【答案】2【解析】.4为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图.根据此图估计该校2000名男生中体重在的人数为_【答案】240【解析】该校2000名男生中体重在的人数为.5运行下边的流程图，输出的结果是_【答案】94【解析】不成立，执行，不成立，执行，成立，所以输出6从2名男生2名女生中任
2、选两人，则恰有一男一女的概率为_【答案】【解析】从2名男生2名女生中任选两人，共有种情况，其中一男一女有种情况，则恰有一男一女的概率为点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.7若圆锥的侧面展开图的面积为且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为_【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意知,且，解得，圆锥高此圆锥的体积8若实数，满足，则的取值范围是_【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
3、目标函数的几何意义为坐标原点与可行域内的点连线距离的平方，据此可得，目标函数取得最大值时经过点，其最大值为：，考查坐标原点到直线的距离：可得目标函数的最小值为.综上可得的取值范围是.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义9已知各项都是正数的等比数列的前项和为，若，成等差数列，且，则_【答案】【解析】因为，成等差数列，所以10在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线与圆没有交点，则双曲线离心率的取值范围是_【答案】【解析】圆的方程可化为，双曲线的渐近线为，依题意有，整理得又，所以双曲线离心
4、率的取值范围是.11已知函数，则关于的不等式的解集为_【答案】【解析】函数的解析式：，则，且：，故函数单调递减，即函数是定义域内单调递减的奇函数，原不等式即：，故，求解关于的不等式可得原不等式的解集为：，表示为区间形式即.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)12已知正的边长为2，点为线段中垂线上任意一点，为射线上一点，且满足，则的最大值为_【答案】【解析】以的中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则，设，三点共线，则：，即：，由可得：，据此可得点的
5、轨迹方程满足：，整理变形可得：，如图所示，点的轨迹方程是以为直径的圆，则点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式13已知函数，若存在实数使得该函数的值域为，则实数的取值范围是_【答案】【解析】在同一个平面直角坐标系中绘制函数的图像和函数在区间上的图像，函数的值域为，则函数图像位于直线和轴之间，观察函数图像可得，实数的取值范围是.14已知正实数，满足，则的最小值为_【答案】【解析】令，则：，即，则：，据此有：，综上可得：当
6、且仅当时等号成立.综上可得：的最小值为.二、解答题15如图，在直三棱柱中，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若平面平面，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：由直三棱柱的性质可知四边形是平行四边形，结合三角形中位线的性质可得，结合线面平行的判定定理可得平面. 在平面内，过作于，由线面垂直的性质定理可得平面，则，由直三棱柱的性质可得，则平面，利用线面垂直的定义可得.试题解析：在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以， 在中，分别为的中点，故，所以， 又平面，平面，所以平面. 在平面内，过作于，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在直三棱柱中，平面，平
7、面，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以.16已知在中，且的面积为9.（1）求；（2）当为锐角三角形时，求的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】试题分析：由题意结合三角形面积公式可得， 则， 据此分类讨论可得：当cosB=时，当cosB=时，; 结合(1)的结论可知AB=6，AC=，BC=5，由余弦定理可得，则， ，所以.试题解析：因为SABC=，又AB=6，BC=5，所以， 又 ，所以， 当cosB=时，当cosB=时，所以或. 由为锐角三角形得B为锐角，所以AB=6，AC=，BC=5，所以，又，所以， 所以，所以.17如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域（含边界）是一蔬菜种植
8、园，其中、分别在射线和上.经测量得，扇形的圆心角（即）为、半径为1千米.为了方便菜农经营，打算在扇形区域外修建一条公路，分别与射线、交于、两点，并要求与扇形弧相切于点.设（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.（1）试将公路的长度表示为的函数，并写出的取值范围；（2）试确定的值，使得公路的长度最小，并求出其最小值.【答案】，其中，当时，长度的最小值为千米.【解析】试题分析：由切线的性质可得OSMN.则SM=，SN=， 据此可得，其中. 利用换元法，令，则， 由均值不等式的结论有：，当且仅当即时等号成立，即长度的最小值为千米.试题解析：因为MN与扇形弧PQ相切于点S，所以OSMN.在OSM
9、中，因为OS=1，MOS=，所以SM=， 在OSN中，NOS=，所以SN=， 所以， 其中. 因为，所以，令，则，所以， 由基本不等式得，当且仅当即时取“=”. 此时，由于，故. 答：，其中.当时，长度的最小值为千米.点睛：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解18已知椭圆：，若椭圆：，则称椭圆与椭圆 “相似”.（1）求经过点，且与椭圆： “相似”的椭圆的方程；（2）若，椭圆的离心率为，在椭圆上，过的直线交椭
10、圆于，两点，且.若的坐标为，且，求直线的方程；若直线，的斜率之积为，求实数的值.【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析：设椭圆的方程为，结合椭圆过点可得椭圆的方程为.由题意设椭圆，椭圆，设，方法一：联立直线方程与椭圆方程可得，则，代入椭圆可得，解得，直线的方程为.方法二：由题意得，则椭圆，设，则，联立椭圆方程可得， 则直线的方程为.方法一： 由题意得，结合，则，可得：，整理计算得到关于的方程：，.方法二：不妨设点在第一象限，直线，与椭圆方程联立可得，则，直线的斜率之积为，计算可得，则，结合，可得，即，.试题解析：设椭圆的方程为，代入点得，所以椭圆的方程为.因为椭圆的离心率为，故，所以椭圆，
11、又椭圆与椭圆“相似”，且，所以椭圆，设，方法一：由题意得，所以椭圆，将直线，代入椭圆得，解得，故，所以，又，即为中点，所以，代入椭圆得，即，即，所以，所以直线的方程为.方法二：由题意得，所以椭圆，设，则，代入椭圆得，解得，故，所以， 所以直线的方程为.方法一： 由题意得，即，则，解得，所以，则，所以，即，所以.方法二：不妨设点在第一象限，设直线，代入椭圆，解得，则，直线的斜率之积为，则直线，代入椭圆，解得，则，则，解得，所以，则，所以，即，即，所以.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次
12、方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题19已知函数，.（1）若，且函数的图象是函数图象的一条切线，求实数的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）若对任意实数，函数在上总有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由题意可知的图象直线过点，设切点坐标为，则切线方程是，解方程可得，. （2）由题意得恒成立，构造函数，二次求导讨论可得在上单调递增， 所以，即.（3）利用必要条件探路，可知若，在上总有零点的必要条件是，即， 然后证明当时，在上总有零点可得实数的取值范围是.试题解析：（1）由知，的图象直线过点，设切
13、点坐标为，由得切线方程是，此直线过点，故，解得，所以. （2）由题意得恒成立，令，则，再令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增，从而在上有最小值，所以在上单调递增， 所以，即.（3）若，在上单调递增，故在上总有零点的必要条件是，即， 以下证明当时，在上总有零点.若，由于，且在上连续，故在上必有零点；若，由（2）知在上恒成立，取，则 ，由于，且在上连续，故在上必有零点，综上得：实数的取值范围是.20已知各项都是正数的数列的前项和为，且，数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）设数列满足，求和；（3）是否存在正整数，使得，成等差数列？若存在，求出所有满足要求的，若不存在，说明理由.【答案】（
14、1），；（2）；（3）存在或，满足要求.【解析】试题分析：（1）由递推关系可得，则，是等差数列，其中公差为1，且，通项公式为，数列是等比数列，其中首项为，公比为，故. （2）结合(1)的结论可得，则，（3）假设存在正整数，使得成等差数列，则，而数列从第二项起单调递减，分类讨论：当时，若，无解；若，符合要求，若，无解； 故，此时，可得，.试题解析：（1），-得：，即，因为是正数数列，所以，即，所以是等差数列，其中公差为1，在中，令，得，所以，由得，所以数列是等比数列，其中首项为，公比为， 所以. （2），裂项得，所以，（3）假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，因为，所以数列从第二项起单调递减，当时，若，则，此时
