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1、说明：数学王国历险记是从“蝴蝶定理”等3个数学问题开场的.作为问题中心的“蝴蝶定理”的证明直到第11回才有所交代.本来第11、12两回的主要内容已在数学通讯7月学生刊上发表，可是由于篇幅关系，“蝴蝶定理”的证明并没有刊出.这样本人感到对读者没有一个完整的交代，思虑再三，决定在网站上补充发出.希望各位网友阅读后给予鉴定、批评.如有更好的证明方法，也希望交流.第十一回 彩蝶纷飞却说小等人历尽千辛万苦，终于找到了藏宝处，小等得到了一件“万能调动仪”，而牧人们也终于找到了他们家的祖传遗产几张单据和一封信.只是牧人们非但不感到高兴，反而一起大哭起来.小忙问怎么了，于是牧人们说出一段原委，小等人也感到唏嘘
2、不已.最后安慰他们道：“好哥哥，现在的大局是营救孙大圣.待我们回去后解决了这个大问题，然后向孙老师汇报，大家共同商量，哥哥们的问题，会有解决办法的.”牧人们拭干眼泪问：“怎么回去？”“这个容易，”小拿出那个“万能调动仪”只一点，马上有两个机器人驾着飞船前来报到.小领着众人上了船，也学着当初商高老人派船接孙老师时的口吻，高声说：“方向：正南；目标：数学王国门前大厅；密码：1123581321！”于是那飞船迅即启动，并风驰电掣般向南飞去，只几秒钟便到达目的.却说自从寒燕向小发去关于行动方案的建议后，孙老师一直没有小们的消息，大家正担心受怕，焦急万分.忽见6个人毫发无损地全部平安归来，又惊喜不已.特
3、别是秦寒双燕，赶紧围了上去问长问短.小说：“好姐姐，现在不是讲这些事的时候，待我们救出孙大圣后，有机会向大家汇报的.”“你们找到营救孙大圣的方法啦？”孙老师惊喜地问.小想到在这次历险中，因为自己的知识水平不足，好几个关键之处都是由于孙老师和两位姐姐的及时援助才得以度过难关，心中感慨不已.于是恭敬地向孙老师行了个礼，报告说：“是的，我们有办法了.”他首先来到孙大圣跟前，也向大圣虔诚地行了个礼.说：“大圣，这些时让你受苦了，我们终于找到了营救你的办法，请你稍等片刻，你马上就可以恢复自由啦.”接着，为了避免意外，小又请孙老师率领大家退避到屏幕之后。奇怪的是那屏幕居然不见了，他们发现自己实际已退到椭球
4、形大厅之外。而小则通过椭球形大厅一个小窗口，用那个“手机”对着石山只一点，一阵惊天动地的巨响之后，大家看到那个石山先是迅速分解，然后一块块地向四面八方飞去，但是一旦碰着椭球壁，又立即飞向大厅的另一个地方重新集结成一个新的正方体。小解释说：“孙大圣所在的位置，是这个大椭球的一个焦点。我手上这个物件，叫做万能调动仪，其功能和商高老人的万能指挥仪相仿，也是外星人留下来的。本来，压在孙大圣身上的石山，是由1000块巨石组成的，每块巨石之间都有强大的电磁吸引力，万能调动仪能在瞬间解除石山的磁性，所以那些巨石就像脱缰的野马一样向四面八方飞去，它们一旦接触到了椭球壁，根据寒燕姐姐证明过的椭圆光学性质，它们被
5、椭球反射后飞向这个椭球的另一个焦点，恢复了的强大电磁力又使它们重新集结成一个新的巨大正方体。”“这些你怎么知道的？”寒燕奇怪地问道。“我也是刚学的。在无穷滩我们根据你们发来的信息，准确地找到了藏宝处。这个万能调动仪及其详细使用说明书都是我们在那里找到的。其他方面的信息还很多，以后我会向孙老师汇报的，那时你们也就都知道了。”小答道。说话间，大圣身上的石山已完全移走，他立即跳了起来，稍事活动筋骨，便来到众人面前，向大家深情地行了个礼，不住地唱喏表示感谢，众人也都还礼，并热烈鼓掌祝贺大圣重新获得自由.大圣再次抱拳向大家致意，说：“后会有期，俺老孙去也！”接着驾着筋斗云向东飞去.不料那东方遮天蔽日般飞
6、来亿万只蝴蝶，将大圣层层缠绕。大圣立即挥舞金箍棒强行驱赶，可是无济于事.没奈何只好退了回来.可是不论他退到哪，那亿万只蝴蝶就紧跟到哪，大圣还是无法脱身.孙老师见状，马上想起这数学王国门前大厅原来的三个问题只解决了两个，商高老人说的“过三关，”现在还差最后一关，看来就是这个蝴蝶关了.于是赶紧将小等人喊来，让他们赶快着手解决.当务之急是首先暂时解决大圣当前的困境.小领命，立即拿出万能调动仪对着那蝴蝶群只一点，那些蝴蝶也真听话，马上成群结队地飞走了，可是有三张纸片飘飘然地从天而降.小拾起一看，说：“前两个问题我们能解决，第三个问题只好有劳两位姐姐了.”孙老师问明情况，原来那3个问题不过是蝴蝶定理的3
7、种表现形式.于是一边邀请孙大圣少安毋躁，自己亲自陪伴以等待问题的最终解决，一边让小他们赶快着手证明蝴蝶定理.小e证明的是梯形中的蝴蝶定理：如图，梯形ABCD中ABCD，止于两腰的线段EF平行于两底，过EF上任一点M引两条直线分别再交两底于G、H，P、Q，分别连GQ、PH交EF于R、S，则必有MR=MS.证明：由于CDEFAB，故MR=MS.小证明的是圆中的蝴蝶定理：如图，过圆中的弦AB的中点M任意引两条弦，再分别交圆于C，D，E，F.弦DE，AB交于G，弦CF，AB交于H，那么：MG=MH.证明：作FNAB，交圆于N，连结MN，GN，DN.为证MG=MH，只须证MGNMHF.M为弦AB的中点，
8、有MN=MF，且AMN=BMF，只须证2=3.显然3=1，只须证1=2，以下设法证D、G、M、N四点共圆.由于GDN=EDN，其度数等于弧EBN度数之半，GMN=BMF，其度数等于弧BF与弧AE度数和之半，而弧BF=弧AN，GMN的度数等于弧EAN度数之半.显然弧EBN与弧EAN度数之和为360，故四边形DGMN中GDN+GMN=180，也就是D、G、M、N四点共圆成立，从而MG=MH成立.小s还证明了圆中蝴蝶定理的逆定理.再说秦寒双燕自来到数学王国门前大厅后，一直在抓紧空余时间研究小和牧人们进门时遇到的3个问题，特别是这个蝴蝶定理的各种表现形式及其证明方法.现在接到孙老师的指令，当然是手到擒
9、拿，其证明也十分漂亮.证完后立即交给了孙老师.孙老师经过认真审阅，非常满意，马上亲自将这些答卷输入东边的电子监控系统.忽然，一群群的彩蝶伴随着美妙的音乐梁祝缓缓飞来.当大家正陶醉于这美妙的音乐之声时，忽听秦寒双燕拼命鼓起掌来，大家定睛一看，原来是梁山伯与祝英台自天而降，一边翩翩起舞，一边深情唱道：碧草青青花胜开 影蝶双双久徘徊千古传颂深深爱 山伯永恋祝英台一阵雷鸣般的掌声.看着梁祝向西方天空冉冉离去，孙老师若有所思地对孙大圣说：“蝴蝶是美丽的化身，大圣，你今后可不要再棒打鸳鸯啊！”那孙大圣又一次被眼前发生的事惊得目瞪口呆，想不到，曾经上打三十三天，下闹十八层地狱，英雄一世的自己，却在这个数学王
10、国累累受困，他无法解决的那么多问题，却被几个毛孩子轻而易举地解决了.想到这里，一方面向孙老师点头称是，一方面又长叹一声：“看来，老孙也得学习啊！”“好啊！孙悟空真的进步了，应该祝贺一番啊！”孙悟空回头一看，却不认识那人，便警惕地问：“你是谁？”欲知后事如何，且听下回分解。附录1.圆中蝴蝶定理的的逆定理，即由MG=MH，证明M为AB的中点（其他条件不变）.小s的证法是：如图：=1，即，化简得：.但是，已知MG=MH，故得，也就是显然AG+BHAB，故必AG-BH=0，这就证明了AG=BH，已知MG=MH，AM=BM.2.在证明圆锥曲线中的蝴蝶定理时需要用到梅捏劳斯定理，其内容是：如图，直线分别交
11、ABC中AB边于X，BC边于Y，AC延长线于Z，那么3.圆锥曲线中的蝴蝶定理有三种形式，证明方法相仿.以下是寒燕针对抛物线的证明.QPN如图，设PQ为抛物线的弦，M为其中点，过M再引抛物线的弦AB，CD，连AD，BC再交PQ于R，S，那么：MR=MS.证明：延长DA、BC交于N，设NRS的三顶依次为.设T（x，y）分NP成定比，则：.T（x，y）为A、D之一时，应有，即：，化简得：此方程有相异二实根，由韦达定理：，同理：.三式相乘：.但是：NRS分别为直线AB截于A、M、B；直线CD截于C、M、D，由梅捏劳斯定理：.两式相乘：（1）（2）：已知MP=MQ，设其长为a，有：（等比性质）故MS=MR.
