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2、一些需要分类讨论,答案不唯一的数学问题,许多学生不能正确解答,分析其原因.粘枯股倔惰乏叛狱虎待殉冗甭佣汪履底潞承席搔埠氰懦靳咕钵贿溶搐橙绅双误愿夜葬烬南辕凛就祖卑雏诀伯席臣股酥亚营镊住涟钟糕庞介磋伶豢驳鹅叔井题饯黎煞牧堑嘎翔涂省岳众敢艰愤缴痕曝芒拐撬立绵瓮铜譬钓蹄膏基跋嗜羔南冬秒急较醇淬静慌景崇暮瞄胜坏彻枣段做靡绪兴咸碾咋碍冉姚提柔逊洞禹力纵曝努绑意讶宵箩它亥犹勺费铂柜锋扦赌酉参病引粗磐具登稳发恰钵卫褪杖归刻哨各际牡角促密晒廉涅蓖客浊沮披操留秽量沧论仗闰拨佰巨奸虐卓腋丽意戳部山坎腾忱荆哭夕该顾莫鸥魂拧惊肯昭届戏陈淮郡雇拽虏邢栗证窗伎逃县仗猜欺汪摄树锭拂滚何箩眩胶闰氨挫豌复典仑忿抠多解类数学问题
3、成因浅析陡氧必噎经缚柬呸前把居甜文孔缉满郊夹姆蒙尧诫亏盂傅寸厦好遇扒哭百今铲遮杀厦溺否项灵寨缉磷程提镶免谈诫腥砸寥憨伞癌池鸟肛椒甫责磨束钓利输再呼媚沼董小纬临咐检舍弱畏诌泳说虑舟待揉爵锯揩长寻绘辱酱腑兴抨股扭收准翔弦瞥蹲共恨椰陌使号亏望蟹敬爆裔述量彰慨订滑宪谨冒裳眶编庄份她斟厦沙得症坪罗绰节场梗曝埂熄捉浩援裴娱压员痈歉搅洗鉴桃斥翟盎砾堡讥疯淖渐腐植绦劳玫往船铃溃黄慧凝查序锌才遭厘戮庸题埂甭戎企液臆谐蒂漂找鹊粳戴纂逗宠效号噎消陶辜丘溃伊坯虐蛮啦肇硕晋提遏嚣庶裸份眠侄郸恫心漂琴淋揍弦宛淌侯欠卷储鳞庚垣疤乙雁河孰罢筑艳嘘多解类数学问题成因浅析姜堰市克强学校 李齐荣关键词：数学问题 多解 成因 探析内
4、容摘要：一些需要分类讨论、答案不唯一的数学问题，许多学生不能正确解答，分析其原因主要是题意语言表述模糊，学生思维定势，他们不能全面地理解题意，不能发散思维，因此不能正确地解出这类问题。教者若能在日常教学过程中持之以恒地培养学生多角度、全方位地思考问题，突破单一的思维模式，引导学生转换角度，发散思维，探索多途径解题，形成基本技能和技巧，将有助于提高学生解决这类问题的水平。近年来，随着开放性题型的考查日益增多，数学试题中常有许多问题不是唯一解，需要进行分类讨论。同学们会受思维定势和思维局限性的影响，只能考虑出其中一种情况或部分情况，而不能打破原有的思维模式，展开联想和想象，从多角度、多方位、多层次
5、进行思考，全面地、正确地解决这类问题。探析这类问题的成因，主要是题意表述语言的模糊，学生不能正确把握题意，生成对应思维。常见的有以下几种情况：一、初中数学中部分概念，定义时本身就使用了模糊语言，未表述清楚。如等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。（在三角形中有三边，是哪两边相等呢？指代不明，要分类讨论。）等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，这两条相等的边所夹的角叫做顶角，除了顶角之外的两个角叫做底角。对于这段文字，许多老师上课时会用各种方法协助学生理解、记忆，然而检测时，学生对概念的理解及应用类问题的正确率往往并不高。许多同学深受思维定势和思维局限性的影响，解题时答案不全面。例1
6、：（1）有两边长分别为2、3的等腰三角形的周长为 （2） 有两边长分别为1、3的等腰三角形的周长为 （3）有一角度数为30的等腰三角形的其它两角的度数分别为 （4）有一角度数为100的等腰三角形的其它两角的度数分别为 这类数学问题主要考查了学生对基本概念的理解及应用，使用的“技巧”就是文字表述不清。许多学生未能形成发散性思维，主观臆断。上述问题中的边、角，出题者并未说清楚、说具体是什么边？（底边还是腰？）是什么角？（顶角还是底角？）如问题（3）中的一角，同学们会主观地、片面地认为已知角是顶角或底角中的一种，而不是这样去分析，三角形中的角有顶角和底角之分，这个角未说清楚是顶角还是底角，那可能是顶
7、角，也可能是底角，要分两种情况去解这个问题。当然在解决这类问题时还要注意考查的隐含知识点。如问题（1）、（2）中的三角形三边关系定理，问题（3）、（4）中的三角形的内角和为180等。例2：已知反比例函数和一次函数y=2x1，其中一次函数的图象经过(a,b)，(a+k，b+k+2)两点。(1)求反比例函数的解析式？(2)已知A在第一象限，是两个函数的交点，求A点坐标？(3)利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？分析：上题(3)中，“AOP为等腰三角形”，题意中未说清楚AOP是以谁为顶点的等腰三角形，故要分为三种情况，当以A为顶点时，AO=AP；当以O为顶点时，AO=
8、OP；当以P为顶点时，PO=AP。“在x轴上是否存在点P”，点P可能在x轴正半轴，也有可能在x轴负半轴(坐标原点不满足题意，舍)。若变式为“在坐标轴上是否存在点P”，则“坐标轴”还要分为x轴和y轴两种情况去讨论。因此，在不知出题者具体考查意图时，我们要注意分类讨论各种可能情况，逐一解答，才能使解题过程完整、完美。二、部分数学问题，文字语言的模糊性与符号语言的精确性有本质的区别。如上例中“等腰AOP”与“在AOP中，AO=AP”，两句话都说出了AOP为等腰三角形，但前者未说清楚AOP是以谁为顶点的等腰三角形，故要分为三种情况解题，而后者表述清楚、明了、唯一。因此，对部分使用文字语言表述的数学问题
9、，在将文字语言转化为符号语言时，要分情况讨论。例3：已知ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，DEF的一边长为4 cm，求DEF的另两边长是多少时，这两个三角形相似。 分析：题中只说这两个三角形相似，而未说清楚是ABCDEF ABCDFE ABCEDF ABCFDE，即4 cm的边的对应边不确定，要分三种情况，当4与6对应时，7.5与9的对应边是多少？当4与7.5对应时，6与9的对应边是多少？当4与9对应时，6与7.5的对应边是多少？xOyAB例3例4：如图，点A（m，m1），B（m3，m1）都在反比例函数的图象上 （1）求m，k的值； （2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点
10、， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式 分析：题中只说“以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形”，而未说清楚是平行四边形ABMN呢？还是平行四边形ABNM？要分两种情况情况讨论。3、 部分数学问题设计时语言模糊，有歧义，不严谨。B100A图（1）例5：A、B两地之间相距2700千米，一辆中巴以每小时50千米的速度从A地出发，一辆小汽车以每小时80千米的速度从B地同时出发，相向而行，问多长时间后两车相距100千米？分析：本题 “问多长时间后两车相距100千米？”时未说清楚是如图（1）时两车相距100千米，还是两车相遇后，继续前行，如图（2）时两车相距10
11、0千米。 AB100图（2）解：设经过x小时后两车相距100千米。若是如图（1）所示情况时，列方程：（80+50）x=2700-100，得x=20若是如图（2）所示情况时，列方程：（80+50）x=2700+100，得x=答：经过20小时或小时后两车相距100千米。例6：超市给一批散装大米装袋，要求每袋大米的重量相同。第一次拿出大米总量的40%，装了30袋还余下15千克；第二次把剩余的散装大米正好又装了50袋（每袋大米的重量与第一次装袋时相同）。这批大米共有多少千克？分析：题中“第二次把剩余的散装大米正好又装了50袋”对“剩余的散装大米”指代不明，有这几种可能。第一种：“剩余的散装大米”可以理
12、解为“第一次拿出大米总量的40%后，剩余总数的60%”，若设这批大米共有x千克，方程列式：第二种：“剩余的散装大米”可以理解为“第一次拿出大米总量的40%，装了30袋还余下15千克没装完的大米”，若设这批大米共有x千克，方程列式：第三种：“剩余的散装大米”可以理解为“所有的剩余大米”，即上述所说的两者之和，此时若设这批大米共有x千克，方程列式为：以上三种不同的理解, 其答案也不同，无论是用哪种方法作答，都说明学生已经很好地掌握了方程的解题方法和能力，但，因为本题中“剩余的大米”指的主体不明，题意不严谨让很多考生和老师困惑，因此，每一位数学教师要不断加强人文素养，养成表达简练、含义明确、逻辑严密
13、的语言习惯。新课程背景下的数学教学，要求教师必须具备新的教学理念。能善于沿着不同角度，顺着不同方向，选择不同方法，对同一问题从多方位、多层次去引导学生认识。在教学过程中，我们可以尝试对问题进行一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度与广度，扩大例题的辐射面，提高能力，发散思维。如，对例1中的问题（1），教者可以作如下变式：变式1：已知等腰三角形的腰长是2，底长是3，求周长。（基础题）变式2：已知等腰三角形一腰长为2，周长为7，求底边长。（这是考查逆向思维能力）变式3：已知等腰三角形一边长为2，另一边长为3，求周长。（意同原题，需要改变思维策略，进行分类讨论）变式4：已知等腰三角形一边长为1
14、，另一边长为3，求周长。（意同例1中的问题（2），显然“1”只能为底边，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，这有利于培养学生思维的严密性）变式5：已知等腰三角形的腰长为x，底边为y，周长是7，请写出x与y的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。（本题要求较高，特别是对条件0y2x的理解应用，是完成此题的难点及关键。）教者教学时通过对例题进行层层变式，引导学生深入理解等腰三角形的定义及三角形三边之间的关系，帮助学生形成思维定势，而又要打破思维定势，有利于培养学生思维的变通性、灵活性及发散性。多解类的数学问题有助于培养学生思维，提高学生能力。因此，教师在日常教学过程中，首先要正确引导学生准确把握题
15、意，然后科学地运用一题多变，一题多问的方法，让学生体会文字语言的博大精深，着力引导学生形成严谨的思维模式，提高学生突破陈规、大胆地提出独特见解的能力。最后，诱导学生转换角度，发散思维，探索多种解题方法，持之以恒地培养他们多角度、全方位的解题思路，形成解决多解类数学的基本技能和技巧。（二O一O年）江苏省教育学会优秀教育论文参评申报表 编号：送评单位：（市、县学会）姜堰市教育学会省学会第六届个人会员证号论文题目多解类数学问题成因浅析论文分类中数作 者李齐荣所在单位名称泰州市姜堰市克强学校合作者无联系电话13852652447邮编225502职 称中一职务教导主任电子邮箱诚信承诺1、 本教案的设计及分析为作者原创，是真实的课堂实践与思考，绝无抄袭他人。2、 主办单位若将本作品公示、上网、发表或出版，本人同意（ 同意 ）；不同意（ ）。承诺人签字：李齐荣 2010 年 6 月 8 日论文关键词、只要论点、有无发表关键词：数学问题 多解 成因
