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1、 北京市高三数学调研试卷(理科)2010年1月第卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1复数等于(A)(B)(C)(D)2已知命题:,那么命题为(A),(B),(C),(D),3已知幂函数的图象经过点,那么的解析式为(A)(B)(C)(D)4甲、乙两名同学在次数学考试中,成绩统计用茎叶图表示如下,若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示,则下列结论正确的是(A),且甲比乙成绩稳定(B),且乙比甲成绩稳定(C),且甲比乙成绩稳定1899 82 1 03 8 9 9甲乙(D),且乙比甲成绩稳定输出结束是否开始5如图给出
2、的是计算的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是(A)(B)(C)(D)211正(主)视图侧(左)视图俯视图6一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是(A) (B) (C) (D)7已知两点,若直线上存在点满足,则实数的取值范围是(A)(B)(C)(D)8设集合,集合,若中含有3个元素,中至少含有2个元素,且中所有数均不小于中最大的数,则满足条件的集合有(A)33组(B)29组(C)16组(D)7组第卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 已知圆的极坐标方程是,那么该圆的直角坐标方程为_,半径长是_.10. 已知向量,若与垂
3、直,则_.11. 的内角,的对边分别为,若,则lOADCB_.12. 如图,已知的直径,为圆周上一点,过点作的切线,过点作的垂线,垂足为,则_13. 已知函数 若函数有3个零点,则实数的取值范围是_.14. 在数列中,且,.给出下列命题: ,使得,均为负数; ,使得,均为正数; 若,则.其中真命题的序号为_.(填出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15(本小题满分13分)已知函数()求的最小正周期;()设,判断函数的奇偶性,并加以证明ABB1CC1A1MN16(本小题满分14分)已知三棱柱的侧棱垂直于底面,分别是,的中点()证明:
4、;()证明:平面;()求二面角的余弦值17(本小题满分13分)ABC如图,一圆形靶分成A,B,C三部分,其面积之比为某同学向该靶投掷枚飞镖,每次1枚假设他每次投掷必定会中靶,且投中靶内各点是随机的()求该同学在一次投掷中投中A区域的概率;()设X表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数,求X的分布列;()若该同学投中A,B,C三个区域分别可得3分,2分,1分,求他投掷3次恰好得4分的概率18(本小题满分13分)设,函数()若,求曲线在点处的切线方程;()求函数在上的最小值19(本小题满分13分)已知两点,曲线上的动点满足,直线与曲线交于另一点()求曲线的方程及离心率;()设,若,求直线的方程 2
5、0(本小题满分14分)数列满足:,.()若数列为常数列,求的值;()若,求证:;()在()的条件下,求证:数列单调递减.数学 (理科)评分参考一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1B 2C 3B 4A 5A 6B 7D 8B 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 有两空的小题,第一空3分,第二空2分.9 10 11 12 13 14 注:14题少解给2分,有错解不给分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.15解:() 2分 4分 6分故的最小正周期为 7分() 9 分 11分因为,所以函数是偶函数 13分 16解法一: ()证明:因为平面,所以是在平面内的射影,
6、2 分由条件可知,DABB1CC1A1MN所以 4 分()证明:设 的中点为,连接,.因为,分别是,的中点,所以.又=,所以.DABB1CC1A1MNHG所以四边形是平行四边形.所以. 7 分因为平面,平面,所以平面. 9 分()如图,设的中点为,连接,所以.因为底面,所以底面.在平面内,过点做,垂足为. 连接,则.所以是二面角的平面角. 12 分因为=2,由,得=.所以=.所以=. 二面角的余弦值是. 14 分ABB1CC1A1MNxyz解法二: 依条件可知,两两垂直.如图,以点为原点建立空间直角坐标系. 根据条件容易求出如下各点坐标:,.()证明:因为,所以. 2 分所以.即. 4 分()
7、证明:因为,是平面的一个法向量,且,所以. 7 分又平面,所以平面. 9 分()设是平面的法向量,因为,由得解得平面的一个法向量.由已知,平面的一个法向量为. 12 分设二面角的大小为, 则=. 二面角的余弦值是. 14 分 17解:()设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为,依题意,. 3 分()依题意知, ,从而的分布列为: 8 分()设表示事件“第次击中目标时,击中区域”,表示事件“第次击中目标时,击中区域”,.依题意知 13 分18解:() 3 分当时,所以曲线在点处的切线方程为,即 5 分()令,解得或 ,则当时,函数在上单调递减,所以,当时,函数取得最小值,最小值为 7分 ,则当时
8、,当变化时,的变化情况如下表:极小值所以,当时,函数取得最小值,最小值为 10 分 ,则当时,函数在上单调递增,所以,当时,函数取得最小值,最小值为 12 分综上,当时,的最小值为;当时,的最小值为;当时,的最小值为 13 分19. 解:因为,,所以曲线是以,为焦点,长轴长为的椭圆 2 分曲线的方程为,离心率为 5 分()显然直线不垂直于轴,也不与轴重合或平行.设,直线方程为,其中.由,得. 7 分解得或.依题意,.因为,所以,则. 于是 所以 10 分因为点在椭圆上,所以 .整理得 ,解得或(舍去),从而 . 12 分所以直线的方程为. 13 分20.解:()因为数列为常数列,所以,解得或由的任意性知,或.所以,或. 3 分()用数学归纳法证明. 当时,符合上式. 4 分 假设当时,因为 ,所以 ,即.从而,即.因为,所以,当时,成立.由,知,. 8 分()因为 (),所以只要证明.由()可知,所以只要证明,即只要证明.令,所以函数在上单调递增.因为,所以,即成立.故.所以数列单调递减. 14 分第12页