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1、 北京市高三数学调研试卷（理科）2010年1月第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1复数等于（A）（B）（C）（D）2已知命题：，那么命题为（A），（B），（C），（D），3已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为（A）（B）（C）（D）4甲、乙两名同学在次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是（A），且甲比乙成绩稳定（B），且乙比甲成绩稳定（C），且甲比乙成绩稳定1899 82 1 03 8 9 9甲乙（D），且乙比甲成绩稳定输出结束是否开始5如图给出
2、的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（A）（B）（C）（D）211正(主)视图侧(左)视图俯视图6一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（A） （B） （C） （D）7已知两点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）8设集合，集合，若中含有3个元素，中至少含有2个元素，且中所有数均不小于中最大的数，则满足条件的集合有（A）33组（B）29组（C）16组（D）7组第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知圆的极坐标方程是，那么该圆的直角坐标方程为_，半径长是_.10. 已知向量，若与垂
3、直，则_.11. 的内角，的对边分别为，若，则lOADCB_.12. 如图，已知的直径，为圆周上一点，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，则_13. 已知函数 若函数有3个零点，则实数的取值范围是_.14. 在数列中，且，.给出下列命题： ，使得，均为负数； ，使得，均为正数； 若，则.其中真命题的序号为_.（填出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（本小题满分13分）已知函数（）求的最小正周期；（）设，判断函数的奇偶性，并加以证明ABB1CC1A1MN16（本小题满分14分）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，分别是，的中点（）证明：
4、；（）证明：平面；（）求二面角的余弦值17（本小题满分13分）ABC如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为某同学向该靶投掷枚飞镖，每次1枚假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的（）求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；（）设X表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数，求X的分布列；（）若该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率18（本小题满分13分）设，函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数在上的最小值19（本小题满分13分）已知两点，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点（）求曲线的方程及离心率；（）设，若，求直线的方程 2
5、0（本小题满分14分）数列满足：，.（）若数列为常数列，求的值；（）若，求证：；（）在（）的条件下，求证：数列单调递减.数学 （理科）评分参考一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1B 2C 3B 4A 5A 6B 7D 8B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 有两空的小题，第一空3分，第二空2分.9 10 11 12 13 14 注：14题少解给2分，有错解不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15解：（） 2分 4分 6分故的最小正周期为 7分（） 9 分 11分因为，所以函数是偶函数 13分 16解法一： （）证明：因为平面，所以是在平面内的射影，
6、2 分由条件可知，DABB1CC1A1MN所以 4 分（）证明：设 的中点为，连接，.因为，分别是，的中点，所以.又=，所以.DABB1CC1A1MNHG所以四边形是平行四边形.所以. 7 分因为平面，平面，所以平面. 9 分（）如图，设的中点为，连接，所以.因为底面，所以底面.在平面内，过点做，垂足为. 连接，则.所以是二面角的平面角. 12 分因为=2，由，得=.所以=.所以=. 二面角的余弦值是. 14 分ABB1CC1A1MNxyz解法二： 依条件可知，两两垂直.如图，以点为原点建立空间直角坐标系. 根据条件容易求出如下各点坐标：，.（）证明：因为，所以. 2 分所以.即. 4 分（）
7、证明：因为，是平面的一个法向量，且，所以. 7 分又平面，所以平面. 9 分（）设是平面的法向量，因为，由得解得平面的一个法向量.由已知，平面的一个法向量为. 12 分设二面角的大小为， 则=. 二面角的余弦值是. 14 分 17解：（）设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为，依题意，. 3 分（）依题意知, ，从而的分布列为： 8 分（）设表示事件“第次击中目标时，击中区域”，表示事件“第次击中目标时，击中区域”，.依题意知 13 分18解：（） 3 分当时，所以曲线在点处的切线方程为，即 5 分（）令，解得或 ，则当时，函数在上单调递减，所以，当时，函数取得最小值，最小值为 7分 ，则当时
8、，当变化时，的变化情况如下表：极小值所以，当时，函数取得最小值，最小值为 10 分 ，则当时，函数在上单调递增，所以，当时，函数取得最小值，最小值为 12 分综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为 13 分19. 解：因为,，所以曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆 2 分曲线的方程为，离心率为 5 分（）显然直线不垂直于轴，也不与轴重合或平行.设，直线方程为，其中.由，得. 7 分解得或.依题意，.因为，所以，则. 于是 所以 10 分因为点在椭圆上，所以 .整理得 ，解得或（舍去），从而 . 12 分所以直线的方程为. 13 分20.解：（）因为数列为常数列，所以，解得或由的任意性知，或.所以，或. 3 分（）用数学归纳法证明. 当时，符合上式. 4 分 假设当时，因为 ，所以 ，即.从而，即.因为，所以，当时，成立.由，知，. 8 分（）因为 ()，所以只要证明.由（）可知，所以只要证明，即只要证明.令，所以函数在上单调递增.因为，所以，即成立.故.所以数列单调递减. 14 分第12页
