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1、建平中学2018届高三上学期第一次月考数学卷2017.09.17一、填空题1. 在的二项式展开式中，的系数与的系数相同，则非零实数的值为 ；2. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取得两个球中恰好1个白球，1个红球的概率为 ；3. 设双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，若点在上，则双曲线的方程为 ；4. 已知集合中的所有元素之和为1，则实数的取值集合为 ；5. 已知，且，则 ；6. 设，则 ；7. 若复数满足，则复数的最大值为 ；8. 在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点的直线上的投影，由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为，则 ；9.
2、已知，若存在，满足，则称是的一个“友好”三角形，在满足下述条件的三角形中。存在“友好”三角形的是 ；10. 集合，若，则实数的取值范围是 ；11. 在中，分别是的中点，是直线上的动点，若的面积为1，则的最小值为 ；12. 已知函数（且），在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是 ；二、选择题13. 若为实数，则成立的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 14. 已知是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（ ）A. 如果，则一定有；B. 如果，则一定有；C. 如果，则一定有；D. 如果，则一定有。15. 已知数列共有5项，满足，且对任意，有仍是该数列的某一
3、项，则下列命题中，假命题的序号是（ ）A. 数列中一定存在一项为0；B. 存在，使得；C. 数列一定是等差数列；D. 集合中元素个数为15. 16. 已知函数，有下列四个结论：对任意，恒成立；存在，使得方程有两个不等实根；对任意，若，则一定有；对任意，函数有三个零点。上述结论正确的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4三、解答题17. 如图，在长方体中，平面截长方体得到一个矩形，且。（1）求截面把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线与平面所成角的正弦值。18. 已知数列是首项等于的等比数列，公比，是它的前项和，满足。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和的最值。19
4、. 某兴趣小组在如图所示的矩形区域内矩形机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败。已知米，为中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为。（1）若，是够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到）（2）如何设置矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲？20. 设椭圆的左顶点为，中心为，若椭圆过点，且。（1）求椭圆的方程；（2）若的顶点也在椭圆上，试求面积的最大值；（3）过点做两条斜率分别为的直线交椭圆于两点，且，求证：直线恒过一个顶点。21. 已知集合，集合，集合。（1）用列举法表示集合；（2）设集合的含个元素所有子集为，记有限集合的所有元素和为，求的值。（3）已知集合是集合的两个不同子集，若不是的子集，且不是的子集，求所有不同的有序集合对的个数。
