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1、 海量资料 超值下载数列内容ABC数列数列的概念等差数列等比数列考试说明对数列部分的要求,除了数列的概念为A级要求外,其余均为C级要求,故本章是高考考查的重中之重.数列是函数的延展,也是中学数学与高等数学的衔接点,同时还是联系实际的渠道之一,数列与函数、方程、不等式、三角函数以及解析几何的联系十分密切,体现了函数思想、方程思想、归纳思想、递推方法、待定系数法等重要的数学思想方法,因此, 数列常常是综合性问题的交汇点.1. 考查数列的基本知识.一般在填空题(常为中档题,2014年江苏卷数列填空题属容易题)或解答题的前12小题(一般每道解答题常分为几个小题)中考查等差与等比数列的基本概念、性质,通
2、项公式,前n项和公式等基本知识和基本性质的灵活运用,对基本的计算技能要求比较高,也用到一些常见的思想方法,如基本量思想、方程思想等.2. 考查数列的实际应用.能在具体的问题情境中,发现数列的等差或等比关系,并能用等差数列、等比数列知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系.主要考查的是数学建模以及运用数列知识解决实际问题的能力.3. 考查数列与其他知识和思想方法的综合类问题.此类问题在高考中历来占有重要的地位,而且由于数列的高考要求是C级,所以一般情况下必考一道解答题.解答题大多以数列为工具,综合归纳与猜想、递推思想、函数与方程思想、等价转化、分类讨论等各种数学
3、思想方法,考查学生综合运用数学知识分析问题和逻辑推理的能力.注意不要认为数列解答题总是很难的压轴题,如2009年的数列解答题就是一道中档题(或稍难的中档题),因此,不必一味钻研数学难题,也不必一直将其当做压轴题备考.4. 考查合情推理能力.这是新课程高考的一个重要特点,旨在促进学生提高自主学习能力和探究创新能力.数列是考查学生探究能力的最适合载体.因此,高考题中已经透露出考查合情推理、探究能力的重要信息和明显特征,高考复习中对此应给予充分的重视和必要的强化.1. 抓好“三基”,确保低、中档题的成功率重视准确地理解基本概念和熟练掌握基本公式,把握思想方法这条主线和灵魂,突出对通性通法的理解和熟练
4、运用,着眼于低、中档题的顺利解决.例如,在运用通项公式、求和公式有关的问题中,要特别重视基本量和方程思想的领悟.2. 抓住联系,重视理解,事半功倍(1) 理解等差与等比数列之间的相互关系和相互转化.例如各项为正的等比数列,将各项取对数后得到的数列是等差数列,由此将等差数列与等比数列的通项公式和性质进行类比,提高复习效率.(2) 比较等差数列、等比数列的特性的异同.两者都有各自的均匀性,例如对于等差数列,an-an-1=d, an=(an-p+an+p),等比数列有类似的均匀性只要将减法换成除法;此外,要认识当公比大于1时,正项等比数列往往增长很快,不同于等差数列的增长模式.理解和运用等差数列、
5、等比数列的性质,有助于提高解题的速度和正确率.3. 关于数列的综合与理科加试内容的复习(1) 理解解决综合问题中的基本思想方法,达到化繁为简、化整为零的目的.如:归纳思想由特殊到一般进行归纳,有助于把握规律,转化思想把一般数列转化为两种基本数列,基本量与方程思想复杂的数列问题往往归结为关于基本量的方程(组)的求解.(2) 在数列与其他知识点综合时,要着重理解不同知识点之间的联系,如将数列看做一种特殊的函数,将通项公式、求和公式视为方程,而不等式则可用来估计函数值和数列的项的大小、范围.(3) 理科加试内容的复习宜立足教材,注重教材例题、习题的变式,遵循教学要求和考试说明,不宜盲目拔高.利用数学
6、归纳法证明有关自然数的命题,如等式、不等式等的证明,书写要规范.第39课时数列的概念内容要求ABC数列的概念1. 数列是一种特殊的函数,定义域为从1开始的全体或部分自然数.2. 数列的通项是历年高考在数列中考查的重点,考查的题型:由前几项写通项,由前n项的和求通项,由递推关系式去求通项等.1. 按照一定次序 排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫做这个数列的项.其中a1称为首项,an称为第n项.2. 如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,则这个公式叫做数列的通项公式, 数列还可以用列表或图象表示.并非每一个数列都可以写出通项公式,有些数列的通项公式也并非是唯一的.3.
7、数列的分类:(1)按项数分类,可分为有穷数列、无穷数列;(2)按an的增减性分类,可分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列.4. 数列前n项和公式Sn与an的关系:an=5. 数列可看成特殊函数,它的定义域是正整数集或它的有限子集1, 2, 3, , n,因此研究数列可联系函数的相关知识,如数列的表示法(列表法、图象法、公式法等)和数列的分类(有限和无穷、有界无界、单调或摆动等),可分别与函数的表示法及性质相联系.应注意用函数的观点分析问题.1. 写出数列, -, , -,的一个通项公式:an=.2. 在数列an中,an=-2n2+29n+3,则此数列的最大项的值是108.3. 已知数列a
8、n的通项公式为an=(nN*),那么是这个数列中的第10项.4. 已知a1=1, an=1+(n2),则a5=.5. 若数列an的通项公式为an=2n-1,将数列an中第3项、第6项、第9项、抽取出来并按原顺序排列构成数列bn,则数列bn的通项公式为bn=6n-1.6. 若数列an满足ai=2n2+n+1,则an=1. 归纳猜想通项公式例1写出下列数列的一个通项公式:(1) 1, -3, 5, -7, 9, ;(2) , 2, , 8, , ;(3) 1, 0, , 0, , 0, , ;(4) a, b, a, b, a, b, .点拨根据给出的前几项写出数列的一个通项公式,关键在于观察给出
9、几项的特点,找出规律,归纳出结论,然后再进行检验,注意要找准数列的第n项an 与序号n的关系.解(1) 数列各项的绝对值是1, 3, 5, 7, 9, 是连续的正奇数;再考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(2) 先将数列的各项统一成分数,再观察:, , , , , , 所以它的一个通项公式为an=.(3) 把数列改写成:, , , , , ,分母依次为1, 2, 3,而分子依次为1, 0, 1, 0, 1,因此数列的通项公式可以表示为an=.对其分子:1, 0, 1, 0, 1, 0,可以联想三角函数中正弦或者余弦的取值,可以写成
10、为,那么an=,也可写成其他形式.(4) 通项公式可以写成an=实际上这是一个摆动数列,可以寻找其摆动的平衡位置与振幅,平衡位置:,振幅:.用(-1)n或(-1)n+1去调节,则通项公式为an=+(-1)n+1.反思根据数列的前n项写出通项公式,关键是由各项的特点找出它们共同的构成规律,需要我们全方位观察,多角度思考,广泛联想,并将原数列适当的转化,化为规律性明显的特殊数列.拓展写出下列数列的一个通项公式:(1) -1, 7, -13, 19, ;(2) 5, 0, -5, 0, 5, 0, -5, 0,;(3) -, , -, , -, ,;(4) o,ooo, , , , 中每个图形的圆圈
11、个数.略解(1)an=(-1)n(6n-5), nN*; (2)an=5sin, nN*; (3)an=(-1)n, nN*; (4)an=n2-n+1, nN*.2. 根据通项公式研究数列的项的特点例2在数列an中,an=.(1) 是否为该数列的项,为什么?(2) 求证:an(0, 1);(3) 在区间内有没有数列an的项?若有,有几项?若无,说明理由.点拨数列是特殊的函数,数列的通项是函数的解析式.判断是第几项就是求函数定义域的某一个自变量的值.解(1) an=.令an=,得=,即n=N*. 不是数列an中的项.(2) an=1-, nN*, (0, 1), an(0, 1).(3) 由a
12、n,得. n. nN* , n=2, 在区间内有数列an的项,且为第2项.提醒研究数列的有界、单调性等本质上是研究函数的性质,但要注意定义域为N*或其子集.变式求数列an中的最小项.提示求数列最小项问题常常考虑其单调性.思路一:由数列an的通项公式an=1-,从函数的角度易得它是一个单调递增数列;思路二:解决数列单调问题的常用方法,可通过判断an+1-an的符号即可,也可通过解不等式组 求解.易得数列an中的最小项为a1=.拓展若数列中的最大项是第k项,求实数k的值.略解因为最大项为第k项,则有 k=4.3. 由数列的前n项和求通项公式例3已知数列an的前n项和公式Sn,分别求数列an的通项公
13、式.(1) Sn=2n2-n;(2) Sn=n2-n+1.点拨利用数列的通项与求和公式之间的关系:an=解(1) 由Sn=2n2-n,得当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3;当n=1时,a1=S1=212-1=1,适合上式.故an=4n-3.(2) 由Sn=n2-n+1,得当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-n+1-(n-1)2+(n-1)-1=2n-2;当n=1时,a1=S1=1,不适合上式.故an=反思本例关键是利用Sn与an的关系进行转化.拓展(1) 已知数列an的前n项和Sn=32n-3,求数列an的通项公式;(2) 已知数列an的前n项和
14、Sn=2n+1,求数列an的通项公式;(3) 若数列an满足+=n2,求数列an的通项公式.略解(1) 由Sn=32n-3,得当n2时,an=Sn-Sn-1=32n-3-32n-1+3=32n-1;当n=1时,a1=S1=32-2=3,适合上式.故an=32n-1.(2) 由Sn=2n+1,得当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n-1-1=2n-1;当n=1时,a1=3,不适合上式,故an=(3) an=2n2-n.提醒数列前n项的和Sn和通项an是数列中两个重要的量,在运用它们的关系式an=Sn-Sn-1时,要注意条件n2,求通项时一定要验证a1是否适合.4. 由数列的递推关系求通项公式例4根据数列an的首项和递推关系,求其通项公式.(1) a1=1, an+1=an+2n(nN*);(2) a1=1, an+1=an(nN*);(3) a1=1, an+1=an+1(nN*).点拨递推关系式也是给出数列的一种表示方法.可以由特殊到一般进行归纳.解(1) an+1=an+2n, an+1-an=2n, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+21+22+2(n-1)=1+n(n-1)=n2-n+1.(2) 方法一:=, an=a1
