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1、不等式在数学问题中的应用 摘要 数学的常用不等式包括均值不等式、不等式、不等式等，它们在解决数学问题中有重要的应用，如求极限、求最值、证明不等式等，本文总结了均值不等式、不等式、不等式及不等式等在数学中的应用。 关键词 不等式、数学、应用1不等式在数学中的应用不等式 设为任意实数，则，其中等号当且仅当与成比例时成立，上式称为不等式1.1不等式在数学分析中的应用1.1.1最值问题例1 如果那么当且仅当时，的最小值是证明：即 当且仅当即时的最小值是例2 设，求的最小值解：由不等式得当且仅当时，取等号。1.1.2证明不等式例3 设且，求证：证明：由不等式得故得证。例4 证明：证明：由不等式得 整理得
2、得证1.2 不等式在几何中的应用1.2.1利用不等式推导点到直线、点到平面距离公式点到直线距离公式：设施直角坐标系内任意一点，直线的方程为，点为直线上的一点，表示到直线的距离。由不等式可得：？因为，若均不为，当且仅当时等式成立，所以,则，对于约束条件，则表示过点垂直于直线的直线。若任一为，则情形更简单。1.2.2点到平面距离公式设为空间上任一点，平面，为平面上的一点，表示点到；平面的距离，由不等式可得： ？，因为 ，所以 ，当且仅当时，此条件表示过点垂直于平面的直线，故，若至多二者为，情形更简单。1.3不等式在代数中的应用例5 在实数集内解方程解：由不等式得所以 又因为 从而由不等式中等号成立
3、的条件知，当且仅当时，不等式中等号成立，它与联立得2 不等式在数学中的应用不等式的积分形式称为不等式，它可以通过积分定义，直接由不等式推得。不等式：若在上可积，则，若在上连续，其中等号当且仅当存在常数使得时成立。例6 已知在上连续，为任意实数，求证： 证明：式左端第一项应用不等式 同理， 式即得式。例7 1）设在上连续，证明不等式；设是上的正值连续函数，求证证明： 根据不等式，得证由于是上的正值连续函数，根据不等式，3 均值不等式在数学中的应用均值不等式：若则，是正数：和或积为定值：当且仅当时，取等号。在运用均值不等式解题时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件3.1均值不等式在数学分析中的应
4、用3.1.1利用均值不等式解决极限问题例8 证明重要极限的存在性证明：先证数列单调递增令，则由均值不等式得即，所以数列单调递增再证数列有上界先证不等式：当时，设，由均值不等式所以 ，因此 其次由，有，因此 当时，任取一个正整数，均是数列的上界。又数列单调递增，因此，当时，不等式仍然成立。因此，对于数列，恒有为正整数。任意选定一个值，均是数列的上界。因此，数列单调有界，由单调有界定理，数列极限存在。设极限值为，即例9 求极限解：利用均值不等式因为，有，故3.1.2利用均值不等式解决最值问题例10 求函数型的最小值解：将项平均分为项，项平均分为项，项平均分为项，其中不能同时相等，则要满足均值不等式
5、的条件，应将各项中的变量约掉，即当且仅当时，例11 若，求函数的最小值解 ，但满足的值不存在，故须对各项重新均差由例11知，则取，则，因此当且仅当时例12 已知且，求的最大值。解：由均值不等式知， 即 下面将其推广：且由均值不等式得 即 3.1.3利用均值不等式证明不等式例13 设正值函数在上连续，试证：证明 由条件知，在上可积，将等分，作积分和，所以由均值不等式，故得证4不等式在数学中的应用不等式：设，为实数：，则当， 当 其中等号成立当且仅当与成比例。不等式的积分形式：设并使得所论的积分有意义，为共轭实数，则当时， 当时， 若连续，则其中等号成立当且仅当与成比例，即不全为零，使得。例14
6、试证明证： 令，于是原式左端5.不等式在数学中的应用不等式：设在连续递增，表示的反函数，则 其中等号成立当且仅当。例15 证明：当时不等式成立。证明 ：连续，因，应用不等式=所以成立，得证例16 设试证：。证明： 因故连续（当时），应用不等式有6不等式在数学中的应用()不等式的基本形式：对于任意实数以及有当时， ， 当时， ， 其中等号成立当且仅当成比例即不全为零使得。式又称为距离不等式，时，式表示中三角形任一边小于另两边之和，因此式又称三角不等式。() 不等式的积分形式：设在上有定义。使下面积分有意义，则当时， 当时， () 元不等式：对于任意实数及有当时， 当时，等号成立当且仅当与成比例。
7、() 元不等式积分形式：当时， 当时， 应用举例！7 对数不等式 当时，等号当且仅当时成立例17 试证 当时证明 令，则 在上单调递减所以即所以得证例18 设那么的极限存在并且的极限大于0.这个极限称为常数证明： 首先证明极限的存在性由对数不等式得 将式从到进行相加，得到从而，即有下界。又由对数不等式可得，于是单调减少有下界，从而极限存在。接下来证明的极限大于设 显然由 及对数不等式可知，故是一个单调增加的正数列，并且有关系，因此的极限大于8. 贝努利不等式 设，实数都大于，并且他们都有着相同的符号，则成立，；特别地，当，且，成立，例20 设都是正实数，且，则成立；证明： 由条件，得；根据贝努
8、利不等式，得，由，得出从而，得，故式成立，得证例21 设，对任一正整数，成立；对任意，对任一正整数，成立证明： 不妨设，由得，取得，从而得；在式中取，即得到，得证9积分不等式在数学中的应用积分不等式：设为非负常数，函数在闭区间上连续非负，且满足不等式，则 ，特别是，有，推出，因为非负，推出，例22 已知初值问题，有解，证明其解唯一证明：初值问题的等价积分方程是。设是初值问题的解，假若还有另一解为，则因有 其中为李氏数，由积分不等式得， 即，因此 ，.同理可证，.10不等式在数学中的应用不等式：设为非负常数，函数在闭区间上连续非负，且满足不等式， ，则有， 例23 证明：（解的唯一性定理） 设是
9、矩形域上的连续函数，如果在上连续且关于满足李氏条件，则方程 存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件这里。利用不等式来证明解得唯一性。假设方程除了解之外，还另有解，下面要证明：在上，有，事实上，因为，将这两个恒等式作差，并利用李氏条件来估值，有令，由不等式可知，在上，因为，所以从而有，即参考文献【1】裴礼文，数学分析中的典型问题与方法，高等教育出版社，2009年5月【1】梁薇，均值不等式求最值的转化技巧，柳州师专学报，第15卷第1期2000年3月【2】李毅，一类用均值不等式求最大值问题的推广，西安教育学院学报，第3期1999年9月10日【3】章国风，均值不等式在高等数学中的应用，广西教育
10、学院学报，2008年第5期（总第97期）【4】黄卫，柯西不等式证明及应用，赤峰学院学报（自然科学版），第27卷第4期2011年4月【5】唐燕贞，浅谈柯西不等式的应用，宁德师专学报（自然科学版），第15卷第4期2003年11月【7】洪顺刚，柯西不等式的证明及其应用，皖西学院学报，第20卷第2期2004年4月【8】杜广环，王佳秋，关于对数不等式的变换及其应用，高师理科学刊，第32卷，第3期，2012年5月【9】邢家省，付传玲，郭秀兰，贝努利不等式的应用，河南科学，第26卷，第2期，2008年2月【10】邹晓范，刘春妍，Crownwall积分不等式在常微分方程中的应用，佳木斯大学学报（自然科学版）第22卷第3期，2004年7月【11】陈映瞳，Bellman不等式的证明、应用及推广，高等数学研究，第12卷第3期，2009年5月
