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1、三、非齐次线性方程组解的结构,四、小结 思考题,二、基础解系及其求法 解的结构,一、齐次线性方程组的性质,第四节 线性方程组的解结构,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,一、齐次线性方程组解的结构,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,解向量的概念,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程(2)的解,一、 齐次线性方程组解的结构,1 解的性质,性质1 （1）的两个解的和还是（1）的解.,性质2 （1）的一个解的倍数还是（1）的解.,性质3 （1）的解的任一线性组合还是（1）的解.,（1）,齐次线性方程组(1)一组解向量 ，,若满足,ii）(1) 的任一解向量可由
2、线性表出.,i） 线性无关；,则称 为(1)的一个基础解系,2 基础解系,定义,3 基础解系的存在性,定理 在齐次线性方程组有非零解的情况下，,它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数,等于 ，其中n是未知量的个数，,推论 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r ,则(1)的任意 nr 个线性无关的解向量都是(1)的,基础解系,5 齐次线性方程组解的结构,若 为齐次线性方程组（1）的一个,基础解系，则（1）的全部解（或通解）为,附：,求基础解系的一般方法,对方程组(1)的系数矩阵A作初等行变换，,化A为行最简形,不妨设,初等行变换,第一步：,写出方程组(1)的一般解：,第二步：,第三步：
3、,为自由未知量.,代入自由未知量 ，,用 组数,得出方程组(1)的 解：,向量组即为方程组(1)的一个基础解系.,练习求齐次线性方程组的基础解系,例1求齐次线性方程组的基础解系,解：,对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵,令 得,令 得,原方程组的解为,原方程的基础解系为,二、非齐次线性方程组解的结构,设线性方程组,则齐次线性方程组,（3）,（4）,称为（3）的导出组,1 解的性质,性质1 非齐次线性方程组（3）的两个解的差,为其导出组（4）的解,性质2 非齐次线性方程组（3）的一个解与其导出,组（4）的一个解 的和 仍为（3）的解,注,非齐次线性方程组的两个解的和及一个解的倍数一般不再是该
4、非齐次线性方程组的解.,2 非齐次线性方程组解的结构,定理 如果 是非齐次线性方程组（3）的一个,从而，方程组（3）的一般解为,为导出组（4）的一个基础解系,那么方程组（3）的任一个解都可以表成,解，是其导出组的全部解,推论 非齐次线性方程组（3）在有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出（4）只有零解.,求出(3)的导出组(4)的一个基础解系,3 求一般线性方程组(3)的一般解的步骤,第二步：,第三步：,写出(3)的全部解(通解),若有无穷多个解，先写出(3)的一个特解,对(3)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵,第一步：,根据阶梯阵判断(3)是否有解,例2求解方程组,解：,对方程组的增广矩阵作初等行变换,由,令,即得原方程组的一个特解,得,由 ，原方程组的导出组与下方程组同解,原方程组有解，并有,令 ，得,即为导出组的一个基础解系,令 ，得,故原方程组的通解为,.,思考题,思考题解答,解,故原方程组的通解为,齐次线性方程组基础解系的求法,四、小结,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为最简形,四、小 结,由于,令,（2）得出 ，同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系.,(,),(,),n,A| b,r,A,r,=,=, 线性方程组解的情况,
