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1、计算机通信基础硕士研究生学位课程,20062007学年秋季学期 魏更宇,第四部分非Markov排队模型,1、M/Ek/1排队模型2、Ek/M/1排队模型3、M/G/1排队模型4、G/M/n排队模型,第四部分第1次内容,1、非马尔科夫模型2、相关基础知识3、 M/Ek/1排队模型,1、非马尔科夫模型,M/M排队模型，顾客到达系统的间隔时间是负指数分布，服务窗口的服务时间也是负指数分布；这种模型称为马尔科夫排队模型。当顾客到达过程不是泊松过程，或者服务窗口的服务时间不是指数分布，或者两者都不是的情况，排队模型就称为非马尔科夫排队模型。本节排队模型：M/Ek/1,2、相关基础知识,母函数：1）定义：
2、设an,n0是一实数序列，如果函数项级数在某一区间（-x0,x0）（x00）中收敛，则称A(x)是数列an的母函数。当an为一个概率分布时，A(x)就在（-1,1）中收敛。如果随即变量X的分布恰为an，则称A(x)为对应于X的母函数。,3、 M/Ek/1排队模型,2）性质：（1）如果（2）如果bk=ak+l，则：（3）如果,M/Ek/1,设顾客到达系统的间隔时间为负指数分布，服务窗口的服务时间为k阶爱尔兰分布。K阶爱尔兰分布的密度函数：由此，可得平均服务时间、方差：,M/Ek/1,由k阶爱尔兰分布的定义可知，它是由k个参数为km的相互独立且具有共同负指数分布的随即变量之和的分布函数。所以可以认
3、为顾客在整个服务过程中通过k个参数为km的串联着的分服务窗口，而每个服务窗口的服务时间为负指数分布。如果将每个分服务窗口看作一个位相，而顾客被服务完毕看作走过了k个位相。此刻，下一个顾客被允许进入服务窗口接受服务。,M/Ek/1,当顾客进入第j个位相处服务时，他还需要经过j个位相才能够服务完毕。在每个服务窗口的服务时间为负指数分布。,M/Ek/1,若将系统中所有顾客服务完毕应通过的位相数目作为系统的状态，那么一个新的顾客到达，使得系统的位相数目增加k个；而一个分服务窗口服务完成，顾客需要通过的位相数目就减少一个；而且位相数的增减军服从负指数分布。由此容易验证，位相数增减的状态构成一个马尔科夫链
4、。记L(t)为时刻t系统中的顾客应通过的位相总数。,M/Ek/1,M/Ek/1,由Q矩阵的引理，可以得到：根据Q矩阵各个元素可知，整个系统构成一个生灭过程，其状态流图：,M/Ek/1,当l/m1时，系统存在平稳分布。其概率为：pj(jo)，并且约定j1时，式（5.1-16）中分母为：方括号中的多项式必有k个不同的实根，记作：s1，s2，sk，并且：于是，该式可以写成：,M/Ek/1,令s=0，则上式得到：从而有：将上式展开部分分式，得到,M/Ek/1,利用幂级数展开式，可得：其中，,M/Ek/1,求解目标参量：假设一个顾客到达时，系统中已经有了j个位相，且一个位相的平均服务时间为1/km。于是
5、，j个位相的平均服务时间为j/km。所以新到达系统的顾客平均排队等候服务的时间为：,M/Ek/1,一个顾客在系统中平均逗留时间为：应用Little公式，有：,M/Ek/1,从上式可以看到，当k增大时，Wq，Lq，Ls减少；当k-时，Ek-D， 即为定长分布；而且有：,M/Ek/1,对上面的式子取极限，得到M/D/1的目标参量。比较M/D/1与M/M/1的目标参量，可知，M/D/1排队模型的目标参量是M/M/1的一半。所以，M/D/1模型优于M/M/1或M/E1/1以及M/Ek/1。,M/Ek/1,小结1、解析非马尔科夫排队模型需要找到其中的马尔科夫链2、k氏方程的解析方法不同于M/M排队模型3、目标参量的比较,
