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1、XX届高考数学轮数列的应用专项复习教案5数列的应用知识梳理实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差，其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.点击双基已知an是递增的数列，且对于任意nN*，都有an=n2+n成立，则实数的取值范围是A.0B.0c.=0D.3解析：由题意知anan+1恒成立，即2n+1+0恒成立，得3.答案：D设a1，a2，a50是从1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+a50=9，且2+2+2=
2、107，则a1，a2，a50中有0的个数为A.10B.11c.12D.13解析：将已知的等式展开整理得a12+a22+a32+a502=39，故此50个数中有11个数为0.答案：B如下图，它满足：第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行第2个数是_.解析：设第n行的第2个数为an，不难得出规律，则an+1=an+n，累加得an=a1+1+2+3+=.答案：已知an=logn+1，观察下列运算a1a2=log23log34=2，a1a2a3a4a5a6=log23log34log67log78=3.定义使a1a2a3a为整数的叫做企盼数.试确定当a1a2a3a=XX时，企盼数=
3、_.解析：由a1a2a=log2=XX，解之得=2XX2.答案：2XX2典例剖析【例1】某市XX年底有住房面积1200万平方米，计划从XX年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.分别求XX年底和XX年底的住房面积；求2024年底的住房面积.剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.解:XX年底的住房面积为120020=1240，XX年底的住房面积为1XX2020=1282，XX年底的住房面积为1240万平方米，XX年底的住房面积为1282万平方米.024年底的住房面积为XX02019XX2020=1XX0202522.64，2024年底的住房面积约为
4、2522.64万平方米.评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.【例2】由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.天运送1000t，第二天运送1100t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100t，连续运送15天，总共运送21300t，求在第几天达到运送食品的最大量.剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.解：设在第n天达到运送食品的最大量.则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.an=1000+100=100n+900
5、.其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为100的等差数列.依题意，得000n+100+=21300.整理化简得n231n+198=0.解得n=9或22.答：在第9天达到运送食品的最大量.评述：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题.【例3】XX年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从XX年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.设该县的总面积为1，XX年底绿化面积为a1=，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1；求数列an的第n+1项an+1；至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.剖析：当年的绿化面积等于
6、上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.解：设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1.依题意，an+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分an后剩余的面积an，另一部分是新绿化的面积bn，于是an+1=an+bn=an+=an+.an+1=an+，an+1=.数列an是公比为，首项a1=的等比数列.an+1=+n.an+160%，+n，n，nlg2，n6.5720.至少需要7年，绿化率才能超过60%.思考讨论你知道他是怎么想出an中的来的吗？闯关训练夯实基础某林厂年初有森林木材存量S3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末
7、要砍伐固定的木材量x3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是A.B.c.D.解析：一次砍伐后木材的存量为Sx；二次砍伐后木材存量为Sxx.由题意知2Sxx=S，解得x=.答案：c一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第n层与第n+1层花盆总数分别为f和f，则f与f的关系为A.ff=n+1B.ff=nc.f=f+2nD.ff=1答案：A从XX年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到XX年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为_万元.解析：
8、存款从后向前考虑+2+5=7.注：XX年不再存款.答案：7某工厂去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为_.解析：每年的总产值构成以a=1.1a为首项，公比为1.1的等比数列，S5=11a.答案：11a从盛满aL纯酒精容器里倒出1L，然后再用水填满，再倒出1L混合溶液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精.解：每次用水填满后酒精浓度依次为，2，3，故每次倒出的纯酒精为1，2，n1，.第九、十两次共倒出的纯酒精为98.培养能力已知直线l上有一列点P1，P2，Pn，其中nN*，x1=1，x2=2，点Pn+2分有向线段所成的
9、比为.写出xn+2与xn+1，xn之间的关系式；设an=xn+1xn，求数列an的通项公式.解：由定比分点坐标公式得xn+2=.a1=x2x1=1，an+1=xn+2xn+1=xn+1=an，=，即an是以a1=1为首项，为公比的等比数列.an=n1.已知点的序列An，n*，其中xl0，x2a，A3是线段AlA2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点，.写出xn与xn1、xn2之间的关系式；设anxn1xn，计算al，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明.解：当n3时，xn=.a1=x2x1=a，a2=x3x2=x2=a，a3=x4x3=x3=a，由此推测
10、：an=n1a.证明如下：因为a1=a0，且an=xn+1xn=xn=an1，所以an=n1a.探究创新下表给出一个“等差数阵”：a1j12a2ja3ja4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.写出a45的值；写出aij的计算公式；证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.解：a45=49.解：该等差数阵的行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5，第i行是首项为4+3，公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3+=2ij+i+j=i
11、+证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i+j，从而2N+1=2i+2j+1=，即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数、l，使得2N+1=，从而N=+l=al，可见N在该等差数阵中.综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.思悟小结等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.将实际问题转化为数列问题时应注意：分清是等差数列还是等比数列；分清
12、是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.教师下载中心教学点睛解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养学生的转化意识.分期付款问题要弄清付款方式，不同方式抽象出的数学模型则不一样.“等额还款方式”采用“双向储蓄”的方法比较简便.强化转化思想、方程思想的应用.拓展题例【例1】杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：引进
13、该设备多少年后，开始盈利？引进该设备若干年后，有两种处理方案：种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.解：设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，则y=50n98=2n2+40n98，由y0，得10n10+.nN*，3n17，即3年后开始盈利.方案一：年平均盈利为，=2n+402+40=12，当且仅当2n=，即n=7时，年平均利润最大，共盈利127+26=110万元.方案二：盈利总额y=22+102，n=10时，y取最大值102，即经过10年盈利总额最大，共计盈利102+8=110万元.两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算.【例2】据某城市XX年末所作的统计资料显示，到XX年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测，从XX年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，
