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1、数学备课大师 目录式免费主题备课平台！圆的方程专项复习一、内容黄金组 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程2.掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程二、要点大揭秘 1. 圆的标准方程平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。定点是圆心，定长是半径。如果圆心坐标为(a,b)，半径等于r,根据两点间距离公式可得圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2。如果圆心恰好为原点时
2、，方程为x2+y2=r2。由圆心坐标(a,b)及半径r的值，可以直接写出圆的标准方程。由圆的标准方程也可直接读出圆心坐标和半径r的大小。2. 圆的一般式方程任何一个圆的方程都可以写成下面形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆方程。(1) 当D2+E2-4F0时，方程表示圆，称为圆的一般式方程，其圆心，半径。(2) 当D2+E2-4F=0时，方程仅表示一个点；(3) 当D2+E2-4F0时，方程没有实数解，方程不表示任何图形。3. 参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即且对于t的每一个允许值，由方程组
3、所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，则此方程组就叫这条曲线的参数方程，联系x,y之间关系的变数叫做参数。相对于参数方程而言，直接给出曲线上点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。4. 圆的参数方程若圆心坐标为C(a,b)，半径为r，则称为圆的参数方程。其中是以x轴正方向为始边方向，方向为终边方向的角。C是圆心，P是圆上与对应的点。5. 点与圆的位置关系设圆C(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)dr 点M在圆外；(2)d=r 点M在圆上；(3)dr 点M在圆内6. 相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2x2
4、+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0三、好题解给你(1) 预习题例1. 写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；解：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5； 评注：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程例2求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2) x2+y2+2by=0解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b例3. 求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(3
5、) 过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)解：(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=0例4. 已知圆的方程是x2+y2=1，求：(1)斜率为1的切线方程；解：(4) 基础题例1(1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解(1)：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决解法一：设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10分析二：
6、从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决解法二：直径上的四周角是直角，对于圆上任一点P(x，y)，有PP1PP2化简得：x2+y2-10x-12y+51=0即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程解(2)：分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0例3. 的方程解：因为圆的切线垂直于过切点的半径，(5) 应用题例1. 求圆心在直线 l：x+y=0上
7、，且过两圆C1x2+y2-2x+10y-24=0和C2x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程(0，2)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10例2求以圆C1：x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程。解 由题：两圆方程相减得两圆公共弦所在直线的方程4x+3y-2=0，过两圆交点的圆系方程可设为x2+y2-12x-2y-13+( x2+y2+12x+16y-25)=0，即(1+)x2+(1+)y2-12(1-)x-2
8、(1-8)y-13-25=0，配方得圆心坐标，公共弦是直径，则圆心在公共弦上4+3-2=0，=。以公共弦为直径的圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0。评注 两相交圆的公共弦所在直线方程，可以将两个圆方程作差，消去x,y的平方项求得。因为交点坐标是两圆方程的公共解，满足两方程的差方程，差方程因消去x,y的平方项后变为关于x,y的二元一次方程，是一条直线的方程，这直线经过两圆的交点，即为公共弦方程。同理可知，无论为何值，方程x2+y2-12x-2y-13+(x2+y2+12x+16y-25)=0表示的曲线经过两圆x2+y2-12x-2y-13=0与x2+y2+12x+16y-25=0的公共点
9、。本题也可先求出两圆的交点后，再求所求圆的圆心及半径后得出方程。例3 和切点坐标分析：求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析；(2)从几何特征分析一般来说，从几何特征分析计算量要小些 圆心O(0，0)到切线的距离为4，把这两个切线方程写成注意到过圆x2+y2=r2上的一点P(x0，y0)的切线的方程为x0x+y0y=r2，(6) 提高题例1 未经过原点，且过圆x2+y2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程解法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，解法二：设过交点的圆系方程为：x2+
10、y2+8x-6y+21+(x-y+5)=0例2已知正三角形ABC的顶点A(5,-6)，B(-1,2)，求ABC的外接圆的方程。解 由题。设C(x,y)，则由得 解之得或即顶点C有两种可能C(,)或C(,)。正三角形的重心就是外接圆圆心，则圆心(a,b)为即，或即。外接圆半径。圆方程为，或。评注 正三角形的重心、内心、外心合一，本题先求出C的坐标，再求重心，即求出圆心，而正三角形外接圆半径是边长的倍，由AB的长度即得圆半径。然后写出圆的标准方程即可。本题也可以用轨迹法求解；设外接圆上动点P，则APB或者等于60或者等于120，通过AP，BP的斜率与夹角(到角)公式求圆的方程。例3A、B、C为已知
11、直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使APB=BPC，求动点P的轨迹解：以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a0，c0)，P(x，y)，由到角公式，整理可得方程为：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0当a=c时，则得x=0(y0)，即y轴去掉原点；当ac时，则得(x-与x轴的两个交点四、课后演武场1求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切2已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)证明：圆的
12、方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=03一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程4赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程5求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程6等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么答案及提示：1(1)(x-3)2+(y+5)2= 322因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为所以圆的方程为化简得：x2-
13、(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04如图建立坐标系，得拱圆的方程：x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2y0)5x2+y2-x+7y-32=06所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x3，x5)，轨迹是以【典型例题】例1 求圆心在轴上，且过点A（1，4），B（2，）的圆的方程。解：方法一：设方法二：设方法三：设方法四：，又 CM：设C（，0）在CM上例2 求过直线与已知圆的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为8的圆的方程。解：设令令，同理：例3 已知圆满足：截轴所得弦长为；被轴分成两段
14、圆弧，其弧长的比为；圆心到直线：的距离为的圆的方程。解：设当时，当时，由、得：又到的或或或或例4（1）已知：，求过点（1，）的切线方程（2）已知：，求过点P（3，1）圆的切线方程。解：（1）（2）当斜率存在时，设：斜率不存在时，即注：（1）C：，P（，），则过点P圆的切线方程为：（2）C：过圆上一点P（，）与圆相切的直线方程为：（3）C：（），P（，）过P圆的切线方程：例5 已知P（5，0）和圆，过P作直线与圆相交于A、B，求弦AB中点的轨迹方程。解：方法一：设AB中点M（），则A（），B（）：， M：，代入中，（）方法二：设A（，）B（，）且（在已知圆内部分）方法三：点M在以OP为直径的圆上注：以A（）B（）为直
