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1、9.5 差分方程的一般概念,一、差分,二、差分方程的一般概念,一、差分,设函数yf(x) 记为yx 当x取遍非负整数时函数值可以排成一个数列 y0 y1 yx 则差yx1yx称为函数yx的差分 也称为一阶差分 记为yx 即 yxyx1yx ,定义94(函数的差分),称为函数yx的二阶差分,差分的差分,yx22yx1yx ,(yx2yx1)( yx1yx),(yx)yx1yx,记为2yx 即,2yx(yx)yx22yx1yx ,一、差分,设函数yf(x) 记为yx 当x取遍非负整数时函数值可以排成一个数列 y0 y1 yx 则一阶差分为 yxyx1yx 二阶差分为 2yx(yx)yx22yx1y
2、x ,定义94(函数的差分),类似地可定义三阶差分3yx、四阶差分4yx等 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分,差分的性质 (1)(cyx)cyx (c为常数) (2)(yxzx)yxzx,解,3yx(2yx),例1 求(x2) 2(x2) 3(x2),设yxx2 那么,yx(x2),2yx2(x2),2x1,(x1)2x2,2,2(x1)1(2x1),(2x1),220,(2),下面是某些差分的值,解,(x1)x(x1)(x2)(xn2)x(x1)(x2)(xn1) (x1)(xn1) x(x1)(x2)(xn2) nx(x1)(x2)(xn2) nx(n1),例2 设x(n)x(x1)(x
3、2)(xn1) x(0)1 求x(n),设yxx(n)x(x1)(x2)(xn1),则,yx(x1)(n)x(n),二、差分方程的一般概念,引例,某种商品t时期的供给量St与需求量Dt都是这一时期价格Pt的线性函数 StabPt(a、b0) DtcdPt(c、d0) 设t时期的价格Pt由t1时期的价格Pt1与供给量及需求量之差St1Dt1按如下关系确定 PtPt1(St1Dt1) (为常数) 即 Pt 1(bd)Pt1(ac) 这样的方程就是差分方程,二、差分方程的一般概念,定义95(差分方程) 含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程,例如 F(x, yx, yx1,
4、 , yxn)0 G(x, yx, yx1, , yxn)0 F(x, yx, yx, 2yx , nyx)0 都是差分方程,二、差分方程的一般概念,定义95(差分方程) 含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程,差分方程的阶 方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数称为差分方程的阶,例3,yx22yx1yx3x是一个二阶差分方程,可以化为yx2yx1yx23x2,2yx2yx3x,则可以化为,2yx2yx,yx1yx2yx,(yx2yx1)(yx1yx)2yx,将原方程左边写成,定义96(差分方程的解) 如果一个函数代入差分方程后 方程两边恒等 则称此函数为该差分方程的解,所以yx152x是方程的解 同样可以验证yxA2x(A为常数)也是差分方程的解,例4,设有差分方程yx1yx2,把函数yx152x代入此方程,则,左边152(x1)(152x)2右边,定义96(差分方程的解) 如果一个函数代入差分方程后 方程两边恒等 则称此函数为该差分方程的解,初始条件 我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态 对差分方程附加一定的条件 这种附加条件称为初始条件 差分方程的特解 满足初始条件的解称为特解 差分方程的通解 如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数 则称它为差分方程的通解,
