威布尔分布在寿命分析中的应用_王松

《威布尔分布在寿命分析中的应用_王松》由会员分享，可在线阅读，更多相关《威布尔分布在寿命分析中的应用_王松（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、威布尔分布在寿命分析中的应用 北京吉普汽车有限公司口王松 摘 要 : 威布尔分布适用于小样本抽样试验 , 并对各种类型试验数据有极强的适应能力 , 它在寿命分析中被经常使用 . 用线性回归进行威布尔分布参数估计 , 方法简单 , 易于掌握;在 具体使用时 , 辅以假设 , 不仅易于数据处理 , 而且有助于对问题的理解 。 关健词 : 威布尔分布寿命分析参数估计 , 潇 r吉 L J . n叨.习 , _ 八卜句介 , _ _一_ , 卜氏 , ( J n = .一二荡尸一一 . AI P一L一二一) 一 l , 沙尸 L 沙 威布尔分布是最为广泛使用的寿命分 布 , 它是由瑞典人威布尔于1 9

2、 5 1年发 表的论文A S tatistie al Di stributio n Fu n et i onof Wi deAppli eabi l it y 提出的 , 并指出威布尔分布的优点就在于它 适用于小样本抽样及它对各种类型试验数据 极强的适应能力 。 最初 , 人们对此持否定态 度 , 然而随着在实际中的运用和研究的不断 深入 , 威布尔的论述得到验证 。 二十世纪五 、 六十年代威布尔分布理论得到极大发展和完 善 , 而七十年代随着计算机的出现威布尔分 布被广泛运用到工程领域中 , 现在己成为相 当成熟的分析技术 。 在我国汽车标准中也可 体会到这种发展 , 旧标准用对数正态分布

3、处 理疲劳寿命试验数据 , 而新版汽车标准同时 采用威布尔分布和对数正态分布 。 作为一个 试验工程师应掌握这一理论并能运用它进行 数据分析 。 下面我想谈一谈我对威布尔分布 的一些肤浅的理解和体会 , 而在此之前有必 要先介绍几个在威布尔分布分析中经常用到 的概念 。 t ) 6 (1) 式中 : p 一形状参数: 9 一尺寸参数; 6 一位置参数; t 一可 以是试验时间 、 试验循环次数或 试验行驶公里数 ; 以时间为例 , 概率密度的含义是 : 在某一时 刻 , 单位时间内失效出现的概率 。 威布尔累积分布函数是指时间从 O到t 出现失效的概率 , 它由对威布尔分布 概率密度函数在时间

4、段【 O , t做积分得到 的 , 积分式为 : 。 ,、 _ r声(t劝, 一1. _ _:_ t二万 、 , , 击 J 一 气)一 L又万一一一 一AFL一、一万厂夕 J“ . 司 口 r 仃 = ,一p卜( 子 ),l 2 . 威布尔分布 威布 尔分布的概率密度函数表达式是 : (2) 其中 F (t,表示威布尔累积分布函数; 在寿命试验中 , 经常使用l B 。寿命作为评价标 准 , 其含义是什么?例如在汽车半轴台架试 验方法 中规定 : 半轴扭转疲劳寿命应该满足 l B 。之 2 0xl了 。 其含义是 : 当一个半轴试件按 试验要求做2 0万次扭转后 , 其失效的可能性 不超过

5、10% 。 威布尔可靠度函数是指时间从O到 t 仍 未出现失效的概率 。 从概率角度看 , 失效与不失效是互补关系 , 它们的概率之和 是 1 , 因此威布尔可靠度函数可由下 ., _ . _ _ _ , 卜占 、 , 1 式得到 : 尺 t、 = 1一汽 t、 =exp一 (共兰)刀 L O (3) 其中( R t ) 表示威布尔可 靠度函数 。 威布尔损伤函数是指瞬时损伤率 , 是威 布尔概率密度函数与威布尔可靠性函数的比 值 , 表达式是 : 夕(t 一句夕 一, 8刀 (4) 一一 几 一 凡 一一 气 其 中h (t)表示威布尔损伤 函数 ; 在后面的介绍中会看到威布尔损伤函数具有

6、很强的实际意义 , 有助于对失效类型的理解 。 威布尔分布被广泛应用的重要原因之一 就在于它的极强的适应性 。 使用损伤函数这 一概念对此可以有清晰的解释 , 因为损伤函 数描述了某产品总体瞬时失效概率随时间的 变化 , 定性解释了失效类型的特征 , 有助于 寿命概率分布模型的选择 。 对包含大量相同个体的产 品总体从开始 使用到发生失效而终止使用进行全 程观察 , 我们发现用具有 “ 盆状 ” 特征的损 伤函数描述此过程常常是合适的 , “ 盆状 ” 曲 线对产品所经历的失效阶段做了形象的解 释 。 图l表示的就是损伤函数的 “ 盆状 ” 曲线 , 从图中可看到盆状曲线由三 段组成 。 图

7、1 损伤函数的盆状曲线 第一段损伤函数是时间的减函数 , 即早 期失效 。 产品或部件在使用初期故障率高 , 但随着使用发生故障的概率愈来愈低 。 它反 映出的问题是 : 设计错误 、 使用存在严重缺 陷的材料 、 选择不恰 当的材料 、 不好的制造 加工工艺及装配 、 糟糕的质量检验等 。 新设 备或刚大修的设备最初都要试运行 , 都有磨 合期 , 其最主要的目的之一就是在使用初期 消除制造缺陷 、 及时发现装配问题 , 以避免 早期失效的产生 。 在汽车总装厂 , 我们会发 现一段曲折的石块路 , 新车下线后在其上行 驶 , 通过上下颠簸 、 转弯 , 观察是否有异常 , 从而避免因装配质

8、量问题造成车辆在使用初 期就出问题 。 同样 , 不合理 的设计也将导致 早期失效的产生 。 在开发某新车型时 , 曾碰 到这样问题 : 由于设计 问题使前悬挂上下自 由空间小 , 路面不平引起的颠簸极易使桥与 螺簧导柱发生碰撞 , 造成导柱在车架上的支 座承受很大冲击 , 试验车在四通道轮胎偶合 道路模拟机上只做了 13 0 多个循环 , 焊在车 架上的导柱支座就将车架纵梁撕裂 , 相当于 在试验路面上跑了 1000多公里 。 第二段损伤函数是常量 , 也就是说失效 在此阶段在各个时间点出现的概率均等 , 处 27 于稳定期 , 工作几小时与工作几百小时的零 件相比较 , 我们无法判断哪个先

9、失效 、 哪个 品质更好 。 我们合理运用这一结论会节省很 多资金 , 当产品处于此阶段时 , 无需进行预 防性保养和更换 , 这样做并不能提高产品的 可靠性 , 反而造成时间和金钱的浪费 。 同时 , 产品的设计者和制造者追求可靠性的目标之 一 , 就是使产品处于随机失效状态(也可称 为等概率失效状态) 。 第三段损伤函数是时间的增函数 , 此时 的失效称为耗损失效 。 其原因是 : 在长时间 的使用之后 , 产品产生了明显的磨损 、 疲劳 和老化 , 随着使用时间的增加失效概率也在 增加 。 在此阶段 , 可通过及时维修 、 更换零 件消除耗损失效 , 以防 彻底失效 。 然而 , 没有数

10、学模型能简单地描述 “ 盆 状 ” 曲线 。 虽然 , 威布尔分布同样不能描述 “ 盆状 ” 曲线 , 但对其参数进行适当改变就 可 以很好地分别描述上面谈到的三种失效模 式 , 这是其它寿命分布函数所无法比拟的 , 也是威布尔分布在寿命试验中被广泛应用的 主要原因之一 。 由式(1 )可看到一个威布尔 分布函数是由形状参数p 、 尺寸参数 0 和位 置参数 6三个参数确定 。 对威布尔损伤函数 的研究表明 : 当p l , 损伤函数是增函数 , 失效类型是耗损失效 。 不仅如此 , 改变参数p可使威布尔分布等同 或近似于其它概率分布 , 例如 : p = 1 , 威布尔分布等同于指数分布 ;

11、 p 二2 , 威布尔分布等同于瑞利分布 ; 日二2 . 5 , 威布尔分布近似于对数正态分布 ; p 二3 . 6 , 威布尔分布近似于正态分布 ; 正因为威布尔分布的普遍适应性 , 它在寿命 分析中得到广泛应用 。 在实际工作中 , 利用 威布尔分布的结论性的东西可 以帮助我们定 性的讨论很多问题 , 使我们的工作更有针对 性 、 更节省资金和时间 。 当了解到威布尔概率分布的重要性后 , 就不能仅停留在定性分析上 , 还要把它量化 , 就是要根据原始试验数据得到威布尔分布的 参数估计和可靠度的估计 , 从而试验工程师 得到试件寿命与试件寿命出现的概率之间的 关系 。 下面将详细的介绍一种

12、最常用的估计 威布尔分布参数的方法一概率图法 , 但本质 上它归结为数学中最为简单的一元线性回归 问题 。 下面对此方法的思路进行介绍 : 由式(3 )得到威布尔分布可靠度函数表达式 为 : 。 ,) = 二p 一 (子)夕5, 对式 (5 ) 两边先取倒数 , 再取两次对数 , 得 到 : 坑h 与 = ph (t 一 6)一。h 。 (6) 尺 ,) 将尺 t) = 1一 只 I)代入式 (6 ) 得到 : hi n 二 p in ( t 一 6)一pi n o (7) l 一 双 ,) 我们知道直线方程数学表达式 是 : y 二 a x 十b 。 因此可将式( 7)中in【h 1 , _

13、 .、 _ _ 、 _ _ 看成是因变量 l一 (F ,) 是 自变量 x , 成是纵截距b y , n I(t 一 6) 看成 p看成是斜率a , 一 pn I e 看 , 由此(7 )就转化为直线方程 。 _ , “ , 二 _ , _二 , , 1 经此数字处理 , 得到i n Lm J与in ( t l一双 , ) 一 6) 是线性关系 , 其中p是斜率 , 一 pl n e 是纵截距b 。 在实际应用中 , 式( 7 )中t 代表到失效为止试件经历的时间或承受的试 验载荷次数 ; F (t)代表试件的累积失效概率。 当我们从试验数据中得到 t 和 F (t后 , 就可以 根据 n I

14、 i n 一生一 与i n ( t 一 6) 的线性关系 , l一双 ,) 估算p和 一 pn I e , 从而也就得到p和 e 。 威布尔分布参数的估计问题转换成计算方法 中的一元线性回归问题 , 根据试验数据得到 直线方程的参数即可 , 同时也达到了将复杂 问题转化成简单问题的目的 。 3 . 威布尔分布在寿命分析中的应 用 下面用一个实际例子对使用线性回归估 算威布尔分布的参数做详细介绍 。 某车型后 桥轮毅需做旋转弯曲寿命试验 。 它模拟的工 况是汽车在转弯时 , 轮毅受到来自地面的经 车轮传递过来的垂直力 、 侧 向力和弯矩 。 我 们想知道 的是轮毅在此工况下的寿命分布 。 轮毅实

15、物见照片 1 , 轮毅的试验安装情况及 载荷的施加见照片 2和图2 。 后桥轮毅由试 验夹具固定 , 垂直及水平液压缸施加垂直力 和侧 向力 , 电机提供旋转动作来模拟车轮的 转动 。 依据此方法试验 了5个样件 , 全部做 到失效为止 , 数据见表 1 。 样件最后状态见 照片3 , 典型的破坏状态见照片 4 。 从试验结果看 , 轮毅失效部位发生在与 轮毅轴承配合的轴颈根部 , 但不在根部圆角 处 , 而是在圆角附近与轴承内圈配合的地方 。 分析认为 : 虽然轴承内圈与轮毅轴颈使用过 盈配合 , 但在试验载荷的作用下 , 轴承内圈 与轮毅轴颈有相对转动 : 经长时间处于此试 验状态 , 轴

16、颈根部表面与轴承内圈配合处出 现划伤 , 最后轮毅在试验载荷的作用下发生 疲劳断裂 。 因此 , 轮毅失效应属于前面提到 的耗损失效 , 其寿命分布用威布尔分布描述 是合适的 。 表 1 试验数据记录 试试件编号号试验次数数试验结果果 # # #l l l 4 5 . 7万次 次轮毅断断 # # #2 2 2 4 6 . 1万次 次轮毅断断 # # #3 3 3 2 3 . 8万次 次轮毅断断 # # # 4 4 4 4 4 . 5万次 次轮毅断断 # # # 5 5 5 3 9 . 8万次 次轮毅断 照片 2 试验安装情况 图 2 试驻安装及刀口载万活简 图 以下是根据表 l 的数据来估计威布尔分示为 : 布函数的参数 。 为计算方便 , 首先假定 6= 0 。 (在后面将介绍如何处理 6)这样就只求p 、 e 两个参数 。 计算步骤如下(表 2记录各步 结果) : 1 . 按失效时间从小到大排列试件 . 2 . 按 m ei d a n rank 法估算威布尔累积失 效率F (