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1、目 录引言 .11 概述 .21.1电磁场边值问题的解法 .21.1.1 解析法 .21.1.2 数值法 .21.2 FDM算法的发展 .21.3 脊波导 .31.3.1 脊波导简介 .31.3.2脊波导的特点 .41.3.3电磁波在波导内传播的特点 .41.4 本文的主要工作 .52 有限差分法（FDM）的基本原理 .62.1 有限差分法的基本概念 .62.2基本差分公式 .62.3 差分方程的求解过程 .82.4有限差分法的计算步骤 .93 用 FDM 法分析脊形波导问题 .113.1理论分析 .113.1.1波导中的电磁场方程 .113.1.2亥姆霍兹方程的差分表达式 .123.2用差分
2、法求解波导问题的计算框图 .153.3 数值计算结果及讨论 .153.3.1 单脊波导 TM波的计算 .153.3.2 双脊波导 TM波的计算 .173.4结果分析 .173.4.1 单脊波导的 TM波计算结果与比较 .173.4.1.1用有限差分法分析 TM波在单脊波导中的传输特性 .173.4.1.2本文值与文献值比较 .183.4.1.3不同尺寸单脊波导的截止频率计算 .183.4.2 双脊波导的 TM波计算与比较 .193.4.2.1用有限差分法分析 TM波在双脊波导中的传输特性 .193.4.2.2不同尺寸双脊波导的截止频率计算 .193.5 本章小结 .214 结论与展望 .224
3、.1 结论 .224.2展望 .22致谢 .24参考文献 .25附录 A 外文文献 .26附录 B 外文文献译文 .30附录 C 牛顿迭代法 .35附录 D 计算单脊波导 TM 波截止频率的程序 .36附录 E 计算双脊波导 TM 波截止频率的程序 .38陕西理工学院毕业论文（设计）第 1 页 共 39 页引言随着科学技术的发展，微波技术的应用已渗透到了科学领域的许多方面，如无线通信、全球定位系统、雷达以及电子和计算机工程学科中。发展至今，用于求解各类电磁场边值问题的方法已经为数众多，从数学分析的角度看，这些方法通常可以归结为四大类型，即严格解析方法、近似解析方法、数值方法和半数值方法。电磁波
4、在传输过程，根据工作频率的不同，所采用的传输线的结构不同。如在米波高段至分波低端这个范围采用并行双线；在分米波高端至 10米波段采用同轴线；而到了厘米波波段就要采用波导传输系统了。在现代微波工程中，为了满足微波传输系统性能的要求, 需要不断探索和研究具有特殊截面形状的各种新型波导。通常所指的是波导具有任意横截面的均匀导电的空心金属管。根据横截面形状不同，有矩形波导、圆形波导，脊形波导和椭圆波导等。最近几十年来, 由于脊波导具有较长的主模截止波长、宽频带和低阻抗等特性，各种结构形状的脊波导应运而生。人们不断探索新的脊波导计算方法, 希望能获得求解这类波导本征值的简单且精确的算法。以前我们用镜像法
5、和分离变量发都属于求解电磁场边值问题的解析解的方法，称为解析法。所得到的是电磁场的空间分布函数的解析表达式，这是一个精确的表达式。但是，许多实际问题往往由于边界形状过于复杂，很难用解析法求解，这时则可借助数值解法来求得电磁场问题的数值解。自本世纪 40 年代以来，有限差分法开始在工程电磁场数值分析中得到应用，其主要特点是简单和直观，通过将连续场域离散化，用各离散点上的场量差商来近似地代替该点的偏微商，将需要求解的偏微分方程化为求解一组相对应的差分方程问题，由此差分方程组解出特定条件下问题的数值解，差分方程和定解条件(初始条件、边界条件) 的离散化结合在一起便构成了一个差分格式。如前所述，有限差
6、分法在电磁场问题上的应用历史并不长，有限差分法可供讨论的问题不少，本文将就有限差分法在电磁场的几种常用差分格式作初步讨论，并且在比较研究的基础上，对电磁波在脊波导中传播的 TM 模的特性做一研究，并利用 FORTRAN 语言编程平台算出其截止频率及场域值。现代电子计算机和计算技术的发展水平，已使有限差分法的数值结果达到工程角度相当满意的精度。陕西理工学院毕业论文（设计）第 2 页 共 39 页1 概述1.1电磁场边值问题的解法1.1.1 解析法1864年 Maxwell在前人的理论(高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁极不存在)和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一
7、切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是著名的 Maxwell方程。在 11种可分离变量坐标系求解 Maxwell方程组或者其退化形式，最后得到解析解。这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较高的数学技巧，甚至无法求得解析解。一般的意义上，研究问题如果有数学模型的话，肯定建设其存在一些前提条件，然后根据条件不同，由该模型（具体表现为“解析表达式” ）得出相应的可能结果，当然结果不一定只有一个,但一般也不会“无数个解” ，即便是无数个，也要根据具体情况假设其中一个为定值或在一定范围内变化，从而讨论另一
8、个值的可能取值，有点数学方面的讨论的意思，比如 x+y=10有无数个解，可先固定 x再讨论 y。1.1.2 数值法许多实际的问题往往由于边界形状过于复杂，很难有解析法求解，这时则可借助数值解法来求得电磁场问题的数值解。（1）数值法的基本思想时将所要求的整个连续分布的场域空间的场的转换为所要求解的场域空间中各个离散点上的场的集合。显然，离散点取得越多，对场分布的描述就越精确，但是计算量也越大。（2）常用的数值法是：基于应用微分形式的电磁场方程的有限差分法、有限元法等；给予应用积分形式的电磁场方程的距量法、边界元法。数 值 法 主 要 是 指 有 限 元 位 移 法 .一般 认 为 只 要 力 学
9、 模 型 正 确 这 主 要 包 括 网 格 划 分 、 边 界 条 件 、 外 力 处 理 等 获 得 的 结 构 变 形及 应 力 状 态 就 会 比 较 准 确 。 数 值 法 主 要 是 指 有 限 元 法 ,有 限 元 法 大 多 是 在 解 析 法 FGM模 型 的 基 础 上 ,在 不 同 尺 度 上 进 行 有 限 元 离 散 ,离 散 单 元 尺 度 不 同 ,进 行 有 限 元 计 算 时 要满 足 的 连 续 性 条 件 不 同 ,预 测 结 果 的 精 确 度 就 不 同 。1.2 FDM算法的发展有限差分法是电磁场数值计算中应用最早的一种方法。自五十年代以来，FDM
10、以其概念清晰方法简单直观的故有优点，不但已经有许多成功的应用范例，而且应用范围也不断扩展，始终在蓬勃发展的计算电磁学占有一席之地。陕西理工学院毕业论文（设计）第 3 页 共 39 页有限差分法的基本思想是：利用网格线将定解区域（场域）离散化为网格节点的集合，基于差分原理以及各离散点上函数的差商近似代替该点的偏导数，并由此把偏微分方程转化为代数差分方程组，从而求出各离散点上的场值。无论对各型二阶线性偏微分方程高阶或非线性方程，边值问题或初值问题，原则上都可以用 FDM 求得离散化的数值解。与 FEM 相比，FDM 的主要缺点在于网格划分欠灵活（如典型的长方形网格五点差分格式）：一方面几何适应性差，对复杂的边界或交界进行的算法处理比较困难，难与实现通用化、自动化的处理模块；另一方面对部分场域内变量急剧变化的边值问题，为保证求解精度只能采用加密网格的办法，从而使计算开销急剧增大。因此，FDM 的应用范围受到一定限制。FDM 的新发展是 1977年 M.Brandt 提出得多重网格法（MGM, Multiple Grid Method）,由于可以仅用 0（N）次运算实现求解 N个网格点上的椭圆型微分方程，因此该法被认为是偏微分方程边值问题超大型工
