现代数学及其发展

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1、1现代数学及其发展现 代 数 学 时 期 是 指 由 19 世 纪20 年 代 至 今 ， 这 一 时 期 数 学 主 要研 究 的 是 最 一 般 的 数 量 关 系 和 空间 形 式 ， 数 和 量 仅 仅 是 它 的 极 特殊 的 情 形 ， 通 常 的 一 维 、 二 维 、三 维 空 间 的 几 何 形 象 也 仅 仅 是 特殊 情 形 。 抽 象 代 数 、 拓 扑 学 、 泛函 分 析 是 整 个 现 代 数 学 科 学 的 主体 部 分 。 它 们 是 大 学 数 学 专 业 的课 程 ， 非 数 学 专 业 也 要 具 备 其 中某 些 知 识 。 变 量 数 学 时 期 新

2、 兴 起的 许 多 学 科 ， 蓬 勃 地 向 前 发 展 ，内 容 和 方 法 不 断 地 充 实 、 扩 大 和深 入 。 218、 19 世 纪 之 交 ， 数 学 已 经达 到 丰 沛 茂 密 的 境 地 ， 似 乎 数 学的 宝 藏 已 经 挖 掘 殆 尽 ， 再 没 有 多大 的 发 展 余 地 了 。 然 而 ， 这 只 是暴 风 雨 前 夕 的 宁 静 。 19 世 纪 20年 代 ， 数 学 革 命 的 狂 飙 终 于 来 临了 ， 数 学 开 始 了 一 连 串 本 质 的 变化 ， 从 此 数 学 又 迈 入 了 一 个 新 的时 期 现 代 数 学 时 期 。 19 世

3、 纪 前 半 叶 ， 数 学 上 出 现两 项 革 命 性 的 发 现 非 欧 几 何与 不 可 交 换 代 数 。 大 约 在 1826 年 ， 人 们 发 现 了与 通 常 的 欧 几 里 得 几 何 不 同 的 、但 也 是 正 确 的 几 何 非 欧 几 何 。这 是 由 罗 巴 契 夫 斯 基 和 里 耶 首 先3提 出 的 。 非 欧 几 何 的 出 现 ， 改 变了 人 们 认 为 欧 氏 几 何 唯 一 地 存 在是 天 经 地 义 的 观 点 。 它 的 革 命 思想 不 仅 为 新 几 何 学 开 辟 了 道 路 ，而 且 是 20 世 纪 相 对 论 产 生 的 前 奏和

4、 准 备 。 后 来 证 明 ， 非 欧 几 何 所 导 致的 思 想 解 放 对 现 代 数 学 和 现 代 科学 有 着 极 为 重 要 的 意 义 ， 因 为 人类 终 于 开 始 突 破 感 官 的 局 限 而 深入 到 自 然 的 更 深 刻 的 本 质 。 从 这个 意 义 上 说 ， 为 确 立 和 发 展 非 欧几 何 贡 献 了 一 生 的 罗 巴 契 夫 斯 基不 愧 为 现 代 科 学 的 先 驱 者 。 1854 年 ， 黎 曼 推 广 了 空 间 的概 念 ， 开 创 了 几 何 学 一 片 更 广 阔4的 领 域 黎 曼 几 何 学 。 非 欧 几何 学 的 发 现

5、 还 促 进 了 公 理 方 法 的深 入 探 讨 ， 研 究 可 以 作 为 基 础 的概 念 和 原 则 ， 分 析 公 理 的 完 全 性 、相 容 性 和 独 立 性 等 问 题 。 1899 年 ，希 尔 伯 特 对 此 作 了 重 大 贡 献 。 在 1843 年 ， 哈 密 顿 发 现 了 一种 乘 法 交 换 律 不 成 立 的 代 数 四 元 数 代 数 。 不 可 交 换 代 数 的 出现 ， 改 变 了 人 们 认 为 存 在 与 一 般的 算 术 代 数 不 同 的 代 数 是 不 可 思议 的 观 点 。 它 的 革 命 思 想 打 开 了近 代 代 数 的 大 门

6、。 另 一 方 面 ， 由 于 一 元 方 程 根式 求 解 条 件 的 探 究 ， 引 进 了 群 的概 念 。 19 世 纪 20 30 年 代 ， 阿5贝 尔 和 伽 罗 华 开 创 了 近 世 代 数 学的 研 究 。 近 代 代 数 是 相 对 古 典 代数 来 说 的 ， 古 典 代 数 的 内 容 是 以讨 论 方 程 的 解 法 为 中 心 的 。 群 论之 后 ， 多 种 代 数 系 统 (环 、 域 、 格 、布 尔 代 数 、 线 性 空 间 等 )被 建 立 。这 时 ， 代 数 学 的 研 究 对 象 扩 大 为向 量 、 矩 阵 ， 等 等 ， 并 渐 渐 转 向代

7、 数 系 统 结 构 本 身 的 研 究 。 上 述 两 大 事 件 和 它 们 引 起 的发 展 ， 被 称 为 几 何 学 的 解 放 和 代数 学 的 解 放 。 19 世 纪 还 发 生 了 第 三 个 有 深远 意 义 的 数 学 事 件 ： 分 析 的 算 术化 。 1874 年 威 尔 斯 特 拉 斯 提 出 了一 个 引 人 注 目 的 例 子 ， 要 求 人 们6对 分 析 基 础 作 更 深 刻 的 理 解 。 他提 出 了 被 称 为 “分 析 的 算 术 化 ”的 著 名 设 想 ， 实 数 系 本 身 最 先 应该 严 格 化 ， 然 后 分 析 的 所 有 概 念应

8、 该 由 此 数 系 导 出 。 他 和 后 继 者们 使 这 个 设 想 基 本 上 得 以 实 现 ，使 今 天 的 全 部 分 析 可 以 从 表 明 实数 系 特 征 的 一 个 公 设 集 中 逻 辑 地推 导 出 来 。 现 代 数 学 家 们 的 研 究 ， 远 远超 出 了 把 实 数 系 作 为 分 析 基 础 的设 想 。 欧 几 里 得 几 何 通 过 其 分 析的 解 释 ， 也 可 以 放 在 实 数 系 中 ；如 果 欧 氏 几 何 是 相 容 的 ， 则 几 何的 多 数 分 支 是 相 容 的 。 实 数 系 (或某 部 分 )可 以 用 来 解 群 代 数 的

9、 众 多7分 支 ； 可 使 大 量 的 代 数 相 容 性 依赖 于 实 数 系 的 相 容 性 。 事 实 上 ，可 以 说 ： 如 果 实 数 系 是 相 容 的 ，则 现 存 的 全 部 数 学 也 是 相 容 的 。 19 世 纪 后 期 ， 由 于 狄 德 金 、康 托 和 皮 亚 诺 的 工 作 ， 这 些 数 学基 础 已 经 建 立 在 更 简 单 、 更 基 础的 自 然 数 系 之 上 。 即 他 们 证 明 了实 数 系 (由 此 导 出 多 种 数 学 )能 从确 立 自 然 数 系 的 公 设 集 中 导 出 。20 世 纪 初 期 ， 证 明 了 自 然 数 可

10、用集 合 论 概 念 来 定 义 ， 因 而 各 种 数学 能 以 集 合 论 为 基 础 来 讲 述 。 拓 扑 学 开 始 是 几 何 学 的 一 个分 支 ， 但 是 直 到 20 世 纪 的 第 二 个1/4 世 纪 ， 它 才 得 到 了 推 广 。 拓 扑8学 可 以 粗 略 地 定 义 为 对 于 连 续 性的 数 学 研 究 。 科 学 家 们 认 识 到 ：任 何 事 物 的 集 合 ， 不 管 是 点 的 集合 、 数 的 集 合 、 代 数 实 体 的 集 合 、函 数 的 集 合 或 非 数 学 对 象 的 集 合 ，都 能 在 某 种 意 义 上 构 成 拓 扑 空

11、间 。拓 扑 学 的 概 念 和 理 论 ， 已 经 成 功地 应 用 于 电 磁 学 和 物 理 学 的 研 究 。20 世 纪 有 许 多 数 学 著 作 曾 致力 于 仔 细 考 查 数 学 的 逻 辑 基 础 和结 构 ， 这 反 过 来 导 致 公 理 学 的 产生 ， 即 对 于 公 设 集 合 及 其 性 质 的研 究 。 许 多 数 学 概 念 经 受 了 重 大的 变 革 和 推 广 ， 并 且 像 集 合 论 、近 世 代 数 学 和 拓 扑 学 这 样 深 奥 的9基 础 学 科 也 得 到 广 泛 发 展 。 一 般(或 抽 象 )集 合 论 导 致 的 一 些 意 义

12、深 远 而 困 扰 人 们 的 悖 论 ， 迫 切 需要 得 到 处 理 。 逻 辑 本 身 作 为 在 数学 上 以 承 认 的 前 提 去 得 出 结 论 的工 具 ， 被 认 真 地 检 查 ， 从 而 产 生了 数 理 逻 辑 。 逻 辑 与 哲 学 的 多 种关 系 ， 导 致 数 学 哲 学 的 各 种 不 同学 派 的 出 现 。 20 世 纪 40 50 年 代 ， 世 界科 学 史 上 发 生 了 三 件 惊 天 动 地 的大 事 ， 即 原 子 能 的 利 用 、 电 子 计算 机 的 发 明 和 空 间 技 术 的 兴 起 。此 外 还 出 现 了 许 多 新 的 情 况

13、 ， 促使 数 学 发 生 急 剧 的 变 化 。 这 些 情况 是 ： 现 代 科 学 技 术 研 究 的 对 象 ，10日 益 超 出 人 类 的 感 官 范 围 以 外 ，向 高 温 、 高 压 、 高 速 、 高 强 度 、远 距 离 、 自 动 化 发 展 。 以 长 度 单位 为 例 、 小 到 1 尘 (毫 微 微 米 ， 即10-15 米 )， 大 到 100 万 秒 差 距(325.8 万 光 年 )。 这 些 测 量 和 研究 都 不 能 依 赖 于 感 官 的 直 接 经 验 ，越 来 越 多 地 要 依 靠 理 论 计 算 的 指导 。 其 次 是 科 学 实 验 的

14、规 模 空 前扩 大 ， 一 个 大 型 的 实 验 ， 要 耗 费大 量 的 人 力 和 物 力 。 为 了 减 少 浪费 和 避 免 盲 目 性 ， 迫 切 需 要 精 确的 理 论 分 机 和 设 计 。 再 次 是 现 代科 学 技 术 日 益 趋 向 定 量 化 ， 各 个科 学 技 术 领 域 ， 都 需 要 使 用 数 学工 具 。 数 学 几 乎 渗 透 到 所 有 的 科11学 部 门 中 去 ， 从 而 形 成 了 许 多 边缘 数 学 学 科 ， 例 如 生 物 数 学 、 生物 统 计 学 、 数 理 生 物 学 、 数 理 语言 学 等 等 。 上 述 情 况 使 得

15、 数 学 发 展 呈 现出 一 些 比 较 明 显 的 特 点 ， 可 以 简单 地 归 纳 为 三 个 方 面 ： 计 算 机 科学 的 形 成 ， 应 用 数 学 出 现 众 多 的新 分 支 、 纯 粹 数 学 有 若 干 重 大 的突 破 。 1945 年 ， 第 一 台 电 子 计 算 机诞 生 以 后 ， 由 于 电 子 计 算 机 应 用广 泛 、 影 响 巨 大 ， 围 绕 它 很 自 然要 形 成 一 门 庞 大 的 科 学 。 粗 略 地说 ， 计 算 机 科 学 是 对 计 算 机 体 系 、软 件 和 某 些 特 殊 应 用 进 行 探 索 和12理 论 研 究 的 一

16、 门 科 学 。 计 算 数 学可 以 归 入 计 算 机 科 学 之 中 ， 但 它也 可 以 算 是 一 门 应 用 数 学 。 计 算 机 的 设 计 与 制 造 的 大 部分 工 作 ， 通 常 是 计 算 机 工 程 或 电子 工 程 的 事 。 软 件 是 指 解 题 的 程序 、 程 序 语 言 、 编 制 程 序 的 方 法等 。 研 究 软 件 需 要 使 用 数 理 逻 辑 、代 数 、 数 理 语 言 学 、 组 合 理 论 、图 论 、 计 算 方 法 等 很 多 的 数 学 工具 。 目 前 电 子 计 算 机 的 应 用 已 达数 千 种 ， 还 有 不 断 增 加 的 趋 势 。但 只 有 某 些 特 殊 应 用 才 归 入 计 算机 科 学 之 中 ， 例 如 机 器 翻 译 、 人工 智 能 、 机 器 证 明 、 图 形