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1、西北工业大学数值分析习题集第一章 绪 论1. 设 x0,x 的相对误差为 ,求 lnx的误差.2. 设 x 的相对误差为 2,求 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *12345.0,.1,85.6,.30,71.xxx4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: 241324(),(),()/,ixii其中 124,均为第 3 题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为 1,问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少?6. 设 08,Y按递推公式 17830nY( n=1,2,)计算到 10.若取 7327
2、.982( 五位有效数字),试问计算 10Y将有多大误差?7. 求方程 256x的两个根,使它至少具有四位有效数字( 78327.982).8. 当 N 充分大时,怎样求 21Ndx?9. 正方形的边长大约为 100,应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 2?10. 设21Sgt假定 g 是准确的,而对 t 的测量有0.1 秒的误差,证明当 t 增加时 S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列 ny满足递推关系 10ny(n=1,2,),若 021.4y(三位有效数字),计算到 10时误差有多大 ?这个计算过程稳定吗?12. 计算 6(2)f,取 .4,利用下列等式计算,哪一个得到的
3、结果最好? 36 3(2),972.1(2)13. 2()ln)fxx,求 f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 22ln()ln(1)xx计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组10102;.xx假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积sin,abc其中 c 为弧度, 2c,且测量 a ,b ,c 的误差分别为,.abc证明面积的误差 满足 .absc第二章 插值法 1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令 200011112(),)nnnnnnxxVxx 证明 ()n是 n 次多项式,它的根是 0, ,且1101()
4、()()nnnxxx .2. 当 x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求 f(x)的二次插值多项式.3. 给出 f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值.x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.2231444. 给出 cos x,0 x 90的函数表,步长 h =1=(1/60), 若函数表具有 5 位有效数字,研究用线性插值求 cos x 近似值时的总误差界.5. 设 0kh,k=0,1,2,3,求 032ma()xl.6.
5、设 j为互异节点( j=0,1,n),求证:i) 0)(,1);nkkjxlii)(,2.kjjj7. 设 2),fxCab且 ()0fb,求证21()().8axmaxb bf f8. 在 4上给出 xe的等距节点函数表,若用二次插值求 e的近似值,要使截断误差不超过 610,问使用函数表的步长 h应取多少?9. 若 2ny,求4ny及 .10. 如果 ()fx是 m次多项式 ,记 ()(fxfx,证明 ()f的 k阶差分)k是 k次多项式,并且 0mll为正整数).11. 证明 1kfgfgf.12. 证明1 100 .n nknkfgfgf13. 证明2.jjyy14. 若101()nn
6、fxaax有 个不同实根 12,nx ,证明10,;.1()nkjkajjf15. 证明 n阶均差有下列性质:i) 若 ()Fxcf,则 001,nnFxcfx ;ii) 若 ()g,则 1 01,nxgx .16. 74()3f,求072f及0182f.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是 (4)211)()/4!,(,)kkkRxfxxx并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于 4 次的多项式 P,使它满足 0P并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式 ()x,以便使它能够满足以下边界条件(0)P, (1), (
7、2)1.20. 设 fxCab,把 分为 n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n并证明当 n时, ()x在 ab上一致收敛到 ()fx.21. 设 21/)f,在 5上取 10,按等距节点求分段线性插值函数 ()hIx,计算各节点间中点处的 hI与 f的值,并估计误差.22. 求 2()fx在 ,ab上的分段线性插值函数 ()hIx,并估计误差.23. 求 4在 上的分段埃尔米特插值 ,并估计误差.24. 给定数据表如下:jx0.25 0.30 0.39 0.45 0.53jy0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280试求三次样条插值 ()Sx并满足条件i)
8、 (0.25)1.,0.53.68;ii) 25. 若 ,fxCab, ()是三次样条函数,证明i) 222() ()()()b b ba a adSxdfxSdxSfxSd;ii) 若 (0,1)iif n ,式中 i为插值节点,且 01nb ,则()()()()baSxff.26. 编出计算三次样条函数 ()Sx系数及其在插值节点中点的值的程序框图( ()Sx可用(8.7)式的表达式). 第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为 ,ab的伯恩斯坦多项式 .(b)对 ()sinfx在 0,/2上求 1 次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.
9、2. 求证:(a)当 ()mfM时, (,)nBfx. (b)当 ()fx时, (,)nBfx.3. 在次数不超过 6 的多项式中,求 si4在 0,2的最佳一致逼近多项式.4. 假设 ()fx在 ab上连续,求 ()f的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数 ,使301x达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求 ()sinf在 ,/2上的最佳一次逼近多项式 ,并估计误差.7. 求 xe在 上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取 r,使 2()pr在 1,上与零偏差最小? r是否唯一?9. 设 43()f,在 0上求三次最佳逼近多项式.10. 令 1)nTxx,求*0123(),(),TxxT.
10、11. 试证 *(是在 ,上带权的正交多项式.12. 在 ,上利用插值极小化求 1 1()fxtg的三次近似最佳逼近多项式.13. 设 ()xfe在 ,上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 ()nLx,若 nf有界,证明对任何 1n,存在常数 n、 ,使 1()()()1.nnTfxLT 14. 设在 ,上2345156880xx,试将 ()x降低到 3 次多项式并估计误差.15. 在 1,上利用幂级数项数求 ()sinfx的 3 次逼近多项式,使误差不超过 0.005.16. ()fx是 a上的连续奇 (偶)函数,证明不管 是奇数或偶数, ()fx的最佳逼近多项式*nnFH也是奇(偶)函数.1
11、7. 求 、 b使 220sinxdx为最小.并与 1 题及 6 题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()fx、 1,gCab,定义,)();(),()();baffgfgfxdfag 问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计610xd的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择 a,使下列积分取得最小值:1122(),axadx.21. 设空间 021,spnxspn,分别在 1、 上求出一个元素,使得其为 20,xC的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f在 上,求在241,ax上的最佳平方逼近.23.2sin()arcosn xu是第二类
12、切比雪夫多项式,证明它有递推关系 112nnnuxu.24. 将1()sifx在 ,上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把 ()arcof在 上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如 2yabx的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.ix19 25 31 38 44iy19.0 32.3 49.0 73.3 97.827. 观测物体的直线运动,得出以下数据:时间 t(秒) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0距离 s(米) 0 10 30 50 80 110求运动方程.28. 在某化学反应里,根据实验所得分
13、解物的浓度与时间关系如下:时间 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55浓度 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64用最小二乘拟合求 ()yft.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.30. 编出改进 FFT 算法的程序框图.31. 现给出一张记录 4,3210,kx,试用改进 FFT 算法求出序列 kx的离散频谱 kC(0,17).第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1) 101()()()(
14、)hfxdAfhfAfh;(2)2h;(3) 1 12()()2()3)/fxdffxf;(4) 00/(0)hhafh.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdn; (2)1210(),0xedn;(3)91,; (4)26si,6.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有 5 次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10xed并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()ba ffxdaba;(2)f;(3)3()()(24ba ffxdaba.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当 n时收敛到积分 ()bafxd.7. 用复化梯形公式求积分 ()bafxd,问要将积分区间 ,分成多少等分,才能保证误差不超过 (设不计舍入误差)?8. 用龙贝格方法计算积分102xe,要求误差不超过 510.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是22()sincSad,这里 a是椭圆的半长轴, c是地球中心与轨道中心(椭圆中心) 的距离,记 h为近地点距离, H为远地点距离, 6371R公里为地球半径,则 (2)/()/aRH.我国第一颗人造卫星近地点距离 49h公里 ,远地点距离 384公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin!n试依据 si
