《上半年线性代数第一次作业(中大计安)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上半年线性代数第一次作业(中大计安)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1. 证明方阵 A 与 有相同的特征值。（5 分）T因为 A 与 对应的特征多项式分别为T， ,显然EfTTAEgTAgf则 A 与 有相同的特征值T2.设方程 A 有特征值 2 和-1， 和 ，分别是对应的特征向量。试将向量 表示成 与 的线性组合，并求 。 （5 分）设 ，解方程组的 s=-1,t=-2,21txs即 TXTASXTSA 6,43212121 3.设方阵 A 满足 证明 A 的特征值是 0 或 1。（5 分）因为 ,所以 ，所以 A 的特征值是 0 或者 1.20E4.求下列方阵的特征值及对应的线性无关特征向量： （10 分）（1） (2) (1) 21304321021
2、43 EA解的 3 个特征值为 1，2，3 代入公式 分别是0XEA当 时， ，假设 解得向量1023-4X1x1当 时， ，假设 解得向量2013-42x132当 时， ，假设 解得向量013-24X1x41的特征向量。证明： 不是 A 的特征向量。 （5 分）设 是 A 的特征向量，相应的特征值为 ，21X 则 ,而 ,212121 X1XA22根据特征向量的线性无关性可以推出 ，矛盾。216.设可逆方阵 A 与 B 相似，证明： 。 （5 分）设存在可逆矩阵 P，使得 ,则 ,AP1PAB11即 1BA7.第 4 题中哪些矩阵可对角化？哪些矩阵不能对角化？并对可对角化的矩阵 A,求一个可
3、逆矩阵 P,使 成为对角矩阵。 （5 分）8.设方阵 A 满足 其中 求 A 及 . （5 分）由题意，A 的三个特征值为 1，0，1，再对 施行正交化和单321，位化，得到对应的特征向量 ，所以32，因为 ，根据T321321-0， 1-01-05的单位正交性可知321， A59.设 A 为 3 阶方阵，已知方阵 E-A , E+A,3E-A 都不可逆。问 A 是否相似于对角矩阵？为什么？ （10 分）由题意，A 的特征值为，1，-1，3，所以可以相似与对角矩阵。10.已知 求内积 （5 分）10)(316-236-232 xx ，11.求一个与 都正交的单位向量。 （5 分）设所求向量为（
4、x,y,z)则 可得 x=-y=-z,再将该向02;32-yxzy量单位化，可得 13，12.设 A 为正交矩阵，证明：A 的伴随矩阵 也是正交矩阵。（5 分） 也 是 正 交 的 。所 以又知 AAETT ,1113.设方阵 ,其中 E 为 n 阶单位矩阵， 为 n 维单位向量。证明：A 为对称的正交矩阵。 （10 分）14.求正交矩阵 P,使 成为对角矩阵，其中 A 为： 。（10 分）由 14201213210302 EA得特征值 4231，当 10012,0x1 得 特 征 向 量由时 ， 解 方 程 EA当 122104,0x442 得 特 征 向 量由时 ， 解 方 程当 1102,0x1 33 得 特 征 向 量由时 ， 解 方 程 EA单位化 31,612,21031 PPP正交矩阵 P= 31621015. 求二次型 的标准形，并写出所作的21231123(,)6fxxx非退化线性代换. （10 分） 3221232322132212 ;64 xyxyxxxxxf 令所以相应的非退化线性变换矩阵为 P=232132yfxy， 则 230
