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1、新课标下高考数学题中以三角形中的不等和最值问题为载体，不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域；纵观近几年高考对三角形的考查，三角形中的不等和最值问题已成为高考命题的一个热点.重点放在正余弦定理与三角函数性质、基本不等式和向量知识的结合上；要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识综合性大，涉及知识面广，学生解决感觉较困难，分析原因，除了这类题目本身有一定难度，主要是学生的三角恒等变形能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以
2、类型的总结和方法的探讨.1 三角形中的不等关系三角形中的不等关系主要有：1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2.任一角都大于00而小于1800,任意两角之和也是大于00而小于1800;3.设角A是一三角形的内角,则;4.在锐角三角形中, 任意两角之和也是大于900而小于1800;5.在同一三角形中大边对大角,大角对大边等等.运用好这些不等关系,是解决与三角形有关问题的关键.例1钝角三角形的三边为， ， ，其最大角不超过，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 2 三角形的不等与三角变换：解三角形主要用到四点：一是正余弦定理；二是大边对大角,大角对大边；三是设角A
3、是一三角形的内角，则；四是三角形的面积公式.用三恒等变形公式按目的进行变形化简是关键.例2【2018届江西省K12联盟高三教育质量检测】已知的内角、的对边分别是、，且 ，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,又的取值范围为故选：B. 3 三角形中不等与向量以向量为载体来描述三角形中的条件，然后解三角形，是近年来是常见高考题型，这种题目不仅要求学生熟悉应用正余弦理解三角形，同时还要求学生有不错的向量知识才能读懂题目，从而顺利作答例3已知向量a,b满足，则的最小值是_，最大值是_。【答案】 4 4三角形中最值与基本不等式对于三角形中的最值,很多时间同时也考查基本不等
4、式,不仅要注意正余弦定理的应用,三角恒等变形,同时还要注意构造使用基本不等式的条件,以便使用基本不等式解决问题.例4在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（1）判断ABC的形状，并加以证明；（2）当c = 1时，求ABC周长的最大值.【答案】(1)见解析；（2）ABC周长的最大值为 . c2=a2+b2 即ABC为直角三角形 （2）由（1）知ABC为直角三角形，c为斜边当c=1时设另两直角边长分别为a， ba2+b2=1 ABC周长=1+a+b 当且仅当a=b即 ABC为等腰直角三角形时取等号.ABC周长的最大值为 5 三角形中的最值与函数对于三角形中的最值,不仅可能用到基本不等
5、式来求解,很多时候也要用到三角函数的性质,或是求函数的最值的方法:如单调性法,导数法,图象法等等.例5【新疆维吾尔自治区普通高中学业水平】甲船在A处.乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲.乙两船相距最近？【答案】小时后，甲乙两船相距最近. 【反思提升】综合上面的五种类型，解决三解形中的不等与最值问题，涉及到三角函数知识和较多的数学思想、方法；解三角形主要知识是正、余弦定理，同时三角恒等变形能力以及计算能力和按照目的进行分析问题、解决问题的能力要求也是比较高的；不等关系和最值处理的常用方法：利用三角形中的有关结论转化为基本不等式来解决或是转化为函数的最值来加以解决.
