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1、选修41几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(对应学生用书(理)179181页)考情分析考点新知应用平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理解决有关三角形问题理解平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理，能运用它们解决三角形中的计算与证明问题.了解直角三角形的射影定理.1. 如图，ABC中， DEBC, DFAC，AEAC35，DE6，求BF的长解：BC10， BF1064.2. 如图，在ABC中，DEBC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD4，DB2，求DE与BC的长度比解：因为DEBC，所以.3. 如图，在ABC中，DEBC，EFCD.且AB2，AD，求AF的长解：设
2、AFx，则由，解得x1.4. 如图，四边形ABCD中，DFAB，垂足为F，DF3，AF2FB2，延长FB到E，使BEFB.连结BD、EC，若BDEC，求BCD和四边形ABCD的面积解：SBCDSBDEBEDF13，S四边形ABCDSADEAEDF436.5. 如图，平行四边形ABCD中，AEEB12，AEF的面积为6，求ADF的面积解：由题意可得AEFCDF，且相似比为13，由AEF的面积为6，得CDF的面积为54.又SADFSCDF13，所以SADF18.1. 平行截割定理(1) 平行线等分线段定理及其推论定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线
3、上截得的线段也相等推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰(2) 平行截割定理及其推论定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例(3) 三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比(4) 梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半2. 相似三角形(1) 相似三角形的判定判定定理a. 两角对应相等的两个三角形相似b. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似c. 三边对应成比例的两个三角形相似推论：平行于三角形一边的直线和其他两
4、边相交，所构成的三角形与原三角形相似直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似(2) 相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方(3) 直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积备课札记题型1平行线分线段成比例问题例1如图，在梯形ABCD中，ADBC，ADC90，E是AB边的中点，求证：EDEC.证明： 如图，过E点作EFBC交DC于点F.在梯形ABCD中，ADBC， ADEFBC. E是AB的中点， F是DC的中点 ADC90， DFE90.
5、EF是DC的垂直平分线， EDEC.如图，在ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N.求证：ADABAEAC.证明： AMEN， ADABNMMB，NMMCAEAC. MBMC， ADABAEAC.题型2三角形相似的证明与应用例2已知：如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E.求证：(1) ABCDCB；(2) DEDCAEBD.证明：(1) 四边形ABCD是等腰梯形， ACDB. ABDC，BCCB， ABCBCD.(2) ABCBCD， ACBDBC，ABCDCB， ADBC，
6、 DACACB，EADABC. EDAC， EDADAC， EDADBC，EADDCB. ADECBD. DEBDAECD， DEDCAEBD.如图，在矩形ABCD中，ABAD，E为AD的中点，连结EC，作EFEC，且EF交AB于F，连结FC.设k，是否存在实数k，使AEF、ECF、DCE与BCF都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由解：假设存在实数k的值，满足题设先证明AEFDCEECF.因为EFEC，所以AEF90DECDCE.而AD90，故AEFDCE.故得.又DEEA，所以.又CEFEAF90，所以AEFECF.再证明可以取到实数k的值，使AEFBCF，由于AFEBFC90，故
7、不可能有AFEBFC，因此要使AEFBCF，应有AFEBFC，此时，有，又AEBC，故得AFBFAB.由AEFDCE，可知，因此，AB2，所以，求得k.可以验证，当k时，这四个三角形都是有一个锐角等于60的直角三角形，故它们都相似题型3射影定理的应用例3已知：如图所示，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F.求证：AEBFABCD3.证明： ACB90，CDAB， CD2ADBD，故CD4AD2BD2.又在RtADC中，DEAC，RtBDC中，DFBC， AD2AEAC，BD2BFBC. CD4AEBFACBC. ACBCABCD， CD4AEBFABCD，即AE
8、BFABCD3.如图，在梯形ABCD中，ADBC，ACBD，垂足为E，ABC45，过E作AD的垂线交AD于F，交BC于G，过E作AD的平行线交AB于H.求证：FG2AFDFBGCGAHBH.证明：因为ACBD，故AED、BEC都是直角三角形又EFAD，EGBC，由射影定理可知AFDFEF2，BGCGEG2.又FG2(FEEG)2FE2EG22FEEGAFDFBGCG2FEEG，ABC45，如图，过点H、A分别作直线HM、AN与BC垂直，易知，AHFE，BHEG，故AHBH2EFEG.所以FG2AFDFBGCG2FEEGAFDFBGCGAHBH.1. 如图，在ABCD中，BC24，E、F为BD的
9、三等分点，求BMDN的值解： E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形， M为BC的中点连CF交AD于P，则P为AD的中点，由BCFDPF及M为BC中点知，N为DP的中点， BMDN1266.2. 如图，在四边形ABCD中，ABCBAD.求证：ABCD.证明：由ABCBAD得ACBBDA，故A、B、C、D四点共圆，从而CABCDB.再由ABCBAD得CABDBA.因此DBACDB，所以ABCD.3. 如图，梯形ABCD中，ADBC，EF是中位线，BD交EF于P，已知EPPF12，AD7 cm，求BC的长解：EF是梯形中位线，得EFADBC， ，. PEPF12, BC2PF14cm.4. 如
10、图，已知A、B、C三点的坐标分别为(0，1)、(1，0)、(1，0)，P是线段AC上一点，BP交AO于点D，设三角形ADP的面积为S，点P的坐标为(x，y)，求S关于x的函数表达式解：如图，作PEy轴于E，PFx轴于F，则PEx，PFy. OAOBOC1， ACOFPC45， PFFCy， OFOCFC1y， x1y，即y1x， BF2y1x. OEFP， BODBFP， ，即， OD， AD1OD1，SADPADPEx， S(0x1)1. 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，求.解：不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC|BC|4，则|AB|4，|CD
11、|AB|2，|PC|PD|CD|，|PA|PB|，所以10.2. 如图，在ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DECD.(1) 求证：ABFCEB；(2) 若DEF的面积为2，求ABCD的面积(1) 证明： 四边形ABCD是平行四边形， AC，ABCD， ABFCEB， ABFCEB.(2) 24.3. 如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上一点，且AEAD，N是AB的中点，NFCE于F，求证：FN2EFFC.证明：连结NC、NE，设正方形的边长为a， AEa，ANa， NEa. BNa，BCa， NCa. DEa，DCa， ECa.又NE2a2，NC2a2，EC2a2，
12、且NE2NC2EC2， ENNC. NFCE， FN2EFFC.4. 在梯形ABCD中，点E、F分别在腰AB、CD上，EFAD，AEEBmn.求证：(mn)EFmBCnAD.你能由此推导出梯形的中位线公式吗？解：如图，连结AC，交EF于点G. ADEFBC， ， ，.又EGBC，FGAD， ， EGBC，GFAD.又EFEGGF， (mn)EFmBCnAD. 当mn1时，EF(BCAD)，即表示梯形的中位线比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或abcd)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段注意：(1) 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成统一单位(2) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式(3) 比例线段是有顺序的，如果说a是b，c，d的第四比例项，那么应得比例式为：.备课札记
