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1、专题七第2讲 稳得填空题答题技巧考向预测填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：(1)定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等；(2)定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格.考试说明中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快运算要快，力戒小题大做；稳变形要稳，不可操之
2、过急；全答案要全，力避残缺不齐；活解题要活，不要生搬硬套；细审题要细，不能粗心大意.知识与技巧的梳理1.方法一直接法它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.2.方法二特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.3.方法三数形结合法(图解
3、法)一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.4.方法四 构造法构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的.热点题型方法一直接法【例
4、1】(2018全国I卷) 记为数列的前项和若，则_解析 依题意，作差得，所以为公比为2的等比数列，又因为，所以，所以，所以探究提高直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.【训练1】(2017烟台质检)已知抛物线C1：y24x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且|PF|3，双曲线C2：1(a0，b0)的渐近线恰好过P点，则双曲线C2的离心率为_.解析设点P(x0，y0)，由抛物线定义得x0(1)3，所以x02.又因为y4x0，得y02，即P(2
5、，2).又因为双曲线C2的渐近线过P点，所以，故e.答案方法二特殊值法【例2】如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为_.解析要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点，故可以将三条棱长分别取为OA6，OB4，OC2，如图，则可计算S13，S22，S3，故S3S2S1.答案S3S2S1探究提高求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的
6、问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.【训练2】(2017石家庄调研)设坐标原点为O，抛物线y22x，过焦点的直线l交该抛物线于A，B两点，则_.解析本题隐含条件是的值为定值，所以的值与直线l的倾斜角无关，所以取直线l：x，不妨令A点在x轴上方.由可得A，B，于是1.答案方法三数形结合法(图解法)【例3】(2018全国II卷) 已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为_解析 如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为探究提高运用数形结合(图解法)的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果
7、.【训练3】(2017潍坊一模)对于函数yf(x)，若其定义域内存在两个不同实数x1，x2，使得xif(xi)1(i1，2)成立，则称函数f(x)具有性质P.若函数f(x)具有性质P，则实数a的取值范围为_.解析依题意，xf(x)1，即1在R上有两个不相等实根，axex在R上有两个不同的实根，令(x)xex，则(x)ex(x1)，当x1时，(x)1时，(x)0，(x)在(1，)上是增函数.因此(x)极小值为(1).在同一坐标系中作y(x)与ya的图象，又当x0时，(x)xex0.由图象知，当a0时，两图象有两个交点.故实数a的取值范围为.答案方法四构造法【例4】 (2015全国卷改编)设函数f
8、(x)是定义在(0，)上函数f(x)的导函数，f(1)0，如果满足xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_.解析令g(x)，则g(x)，由于xf(x)f(x)0，得g(x)0的解集为(0，1)，因此f(x)0的解集为(0，1).答案 (0，1)探究提高构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.【训练4】在数列an中，a11，且an12an1，则数列an的通项公式是_.解析由an12an1，得an112(an1)，又a11，得a1120，数列an1是公比q2的等比数列，因此an
9、122n12n，故an2n1.答案an2n1限时训练（45分钟）经典常规题1. (2018全国I卷) 若满足约束条件，则的最大值为_2. (2018全国II卷) 曲线在点处的切线方程为_3.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边.若(abc)(abc)ab，c，当ab取得最大值时，SABC_.4. (2018全国III卷) 函数在的零点个数为_高频易错题 1. (2018全国III卷) 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则_2.已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是_.3.设双曲线1(a0，b0)的焦点分别为F1，F2，A为双曲
10、线上的一点，且F1F2AF2，若直线AF1与圆x2y2相切，则双曲线的离心率为_.4.已知数列an是各项均为正整数的等差数列，公差dN*，且an中任意两项之和也是该数列中的一项.若a16m，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为_(用m表示).精准预测题1. (2018全国I卷) 的内角的对边分别为，已知，则的面积为_ 2.已知点A(m，0)，点P是双曲线C：y21右支上任意一点，若|PA|的最小值为3，则m_.3.在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差s2可能的最大值是
11、_.4.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形.若PA2，则OAB的面积为_.参考答案经典常规题1.【解题思路】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【答案】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，取得最大值，由，解得，此时，故答案为62.【解题思路】先求导数，再根据导数几何意义得切线
12、斜率，最后根据点斜式求切线方程.【答案】，3.【解题思路】(abc)(abc)ab，c，(ab)2c2ab，得a2b2c2ab3ab.a2b22ab，当且仅当ab时取等号，3ab2ab，则ab1，当且仅当ab时取等号，当ab取得最大值时，ab1，得cos C，sin C，故SABCabsin C11.【答案】4.【解题思路】求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数【答案】由，有，解得，由得可取0、1、2，在上有3个零点高频易错题 1.【解题思路】利用点差法进行计算即可【答案】设，则，所以，所以，取中点,分别过点,作准线的垂线，垂足分别为，因为，因为为中点，所以平行于轴，因为，所以，则
13、，即故答案为2.2.【解题思路】依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有bc1，(bc)5529，当且仅当即b2c时取等号，因此的最小值是9.【答案】93.【解题思路】由题意，F1(0，c)，F2(0，c)，不妨取A点坐标为，直线AF1的方程为ycx，即2acxb2yb2c0.直线AF1与圆x2y2相切，.b2ac，e2e0，e1，e.【答案】4.【解题思路】依题设ana1(n1)d6m(n1)d.又数列an中任意两项之和asat(s，tN*)是an的一项，所以a16m是d的公倍数，即d2i3j(i，j0，1，2，m).则d的所有可能取值的和为2i3j(2m11)(3m11).【答案】(2m11)(3m11)精准预测题1.【解题思路】首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定A为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.【答案】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以A为锐角，且，从而求得，所以的面积为，故答案是.2.【解题思路】设P(x，y)(x2)，则|PA|2(xm)2y2m21，当m0时，x
