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1、桂兴业 1409110205 能源与动力工程2班空间立体体积计算方法 空间立体体积的计算在高数学习中有着重要的意义，是高等数学积分法在几何上的主要应用。对于一些规则的立体图形的体积计算有着具体的公式，但并不适用与不规则的立体图形。这里本文总结了通过所学习的积分学的知识建立的更为普遍的立体图形体积计算方法。其主要思想是将体积表示成定积分或重积分，研究空间立体，确定积分区域及被积函数，然后综合考虑立体特性，积分区域及被积函数特点，选择适当的积分方法。1. 用定积分计算空间立体的体积这种方法一般适用于旋转体或垂直坐标轴的截面面积函数已知的空间立体。例1. 一般地，如果旋转体是由连续曲线y=f(x)、
2、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？xa,b在a,b上任取小区间x,x+dx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，旋转体的体积为 : oyx求由曲线,直线x = 1及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.解 如图, 选x为积分变量由旋转体的体积公式,得例2. 平行截面面积为已知的立体的体积设一立体位于 过点x=a, x=b 且垂直于 x 轴的两平面之间，用垂直于 x 轴的任一平面截此立体所得的截面积 A(x) 是 x 的已知函数，用微元法：取 x 为积分变量，在区间 a, b 上任取一小区间x , x+dx ，
3、过其端点作垂直 x 轴的平面，作体积微元：以A(x) 为底，dx 为高作柱体，体积微元为dV从而一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解：取坐标系如图底半圆方程为，垂直于轴的截面为直角三角形截面面积 立体体积 2. 用二重积分计算空间立体的体积这种方法用于计算曲顶柱体的体积。据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.oxyz11例3. 求四个平面x=0,y=0,x=1,y=1围成的柱面被平面z=0及平面2x+3y+z=6截得立体的体积。解 ： 例4. 设W由锥面和球面所围成 , 请用二重积分表示W的体积.解：所求体积
4、可以看成是两个曲顶柱体的体积之差. 3. 用三重积分计算空间立体的体积由三重积分fx,y,zdV或fx,y,zdxdydz的性质知，当f(x,y,z)=0时,公式 dV在几何上表示V的体积,V表示积分区域.用三重积分计算空间立体体积,可将三重积分化为累次积分计算,对于一般区域上的三重积分,常把它分解成有限个简单区域上的和来计算.或者利用换元法对三重积分进行变换从而计算空间立体体积,常用的变换有柱面坐标变换和球面坐标变换。例5. 求半径为a 的球面与半顶角为a 的内接锥面所围成的立体的体积.解: 在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为例6. 切平面与曲面所围立体的体积 V . 解:曲面S1在点（x0,y0,z0）的切平面方程为，它与曲面的交线在 xOy 面上的投影为 (记所围域为D ) 这就是论文的全部类容，由于技术问题很多想法都没办法编辑上去，敬请老师见谅！
