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1、2012 年 1 月全国高等教育自学考试高等数学（工本）试题及答案课程代码：00023一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将基代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.过点（1，-1，2）和点（2，1，-1）的直线方程为（ ）A. B. 3xyz 1203xyzC. D. 12.3121, ,1, CzyxB DBABA ， 所 以 选为 定 点 的 直 线 方 程 为 ：，以 点 两 个 选 项 ；、， 据 此 可 以 排 除为 所 求 直 线 的 方 向 向
2、 量， 则，解 ： 设 2.设函数 f(x,y)=xy，则 fy(x,y)为A.yxy-1 B.xylnxC.xylny D.xy.lnlln, nl ll Bxexyexf yxyy y ， 所 以 选求 偏 导 得， 对解 ： 由 3.下列曲线积分中，与路径无关的曲线积分为A. B. (2)d()L (2)d()LyxyC. D. dxyxy正 确 。， 知 选 项由 ： 令解 ： 验 证 选 项 CxQyPyxQP22,4.微分方程 是dexyA.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程C.一阶线性齐次微分方程 D.一阶线性非齐次微分方程.1DxQyPeyxx故 选一 阶 线 性 非 齐
3、次 方 程 ，所 以 ， 题 设 微 分 方 程 是 的 形 式 ， 符 合解 ： 由 已 知 ， 得 5.已知幂级数 在 x=-3 处收敛，则该级数在 x=0 处是n1naA.绝对收敛 B.条件收敛C.发散 D.敛散性不确定.3,0 3,-00Ax xxx， 故 选因 为 处 绝 对 收 敛 ，内 的 一 切定 理 ， 知 该 级 数 在处 收 敛 ， 所 以 由 阿 贝 尔因 为 该 级 数 在 处 绝 对 收 敛 。） 内 的 一 切，处 收 敛 ， 则 在 （阿 贝 尔 定 理 ： 若 级 数 在解 ： 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）请在每小题的空格中填
4、上正确答案。错填、不填均无分。6.已知向量 a=2,-1,3,b=1,-1,2,则（-2a）(3b)=_.6,63242- ,6, kjikjiba，解 ：7.已知函数 g(x,y)=x+y+f(x-y),且 g(x,0)=x2，则 f(x-y)=_.8.二.2,00, 222 yxyxyxfxfxfxg 所 以， 得解 ： 由次积分 交换积分次序后 I=_.210d,dIy（区域 B 是以原点为圆心，1 为半径的圆在第一象限的圆弧）2.,yxf解 ：9.微分方程 的一个特解 y*=_. .*12-*xxx xx
5、eyAeAe Aeeyy ， 故， 解 得 ， 代 入 微 分 方 程 ， 得， 则解 ： 令10.无穷级数 的和为_.1!n.1.!.31!2., .,!.321 ennex xnxxx！所 以 ！得令解 ：三、计算题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 的 方 程 。平 面 上 的 投 影 曲 线在为 曲 线上 的 投 影 曲 线 ， 即 平 面在联 立 即 为 曲 线后 ， 再 与两 个 曲 面 方 程 消 去；的 一 般 方 程 为 ：曲 线 一 般 方 程 。的 方 程 组 来 表 示 曲 线 的常 用 两 个 曲 面 方 程 组 成两 个 曲 面 的 交 线 ，
6、所 以解 ： 空 间 曲 线 可 以 看 做 LxoyCzyx xoyCzzzC .0, 0.2,.122 .22/2/ 2222122,4, xyzxyzxyzFyz yzxyxzyxzx xyzxyzFFyzFxyzxzyzx zx ；所 以 ；则解 ： 令 .0453.048510364,53 8,16|,2, .453.1 ,5322 zyxzyxnFnyzxyzy 即处 的 切 平 面 方 程 为 ：所 以 在 点解 ： 处 的 切 平 面 方 程在 点求 曲 线 .23120123| .0|)(|)(|)2(| 23,6cos,4,6cos1,2 1,21,22,2,21, lul
7、 xyzzuxzyyzxuell的 方 向 导 数 为所 以 ，同 向 的 单 位 向 量解 ： 与 2121 213221 .3044xdxdxxydxxydD解 ： .3211sin2.321020 drdIxyz：方 法 ：解 ： 方 法 .320312120 4242 xdxyxydsxydsI ABABO解 ： .10|5242321- xdxdxI解 ： .21 .1 .Cyx Cydxyxydx dy 为 ：即 所 求 微 分 方 程 的 通 解 ， 所 以， 即， 也 就 是由 已 知 ， 得 的 方 程， 看 成 含 有当 作 自 变 量当 作 未 知 数 ，解 ： 把.21
8、0142112xeCyrr 为此 所 求 微 分 方 程 的 通 解是 两 个 相 等 的 实 根 ， 因， 其 根 征 方 程 为解 ： 所 给 微 分 方 程 的 特 .132lim， 知 该 无 穷 级 数 收 敛， 由解 ： 该 级 数 是 正 向 级 数 nn.!71.!7530axxf所 以解 ：四、综合题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）23.设函数 z=ln( + ),证明 .xy12zxyx 右 边 ， 证 毕 。， 所 以 左 边，证 明 ： 因 为 xyxyxyxzyxz 11124.求函数 f(x,y)=2xy-x2-4y2+y3-1 的极值. .0,124,22, 1-0,-80 .62,0082 不 是 极 值， 所 以，处 ，在 点 ；处 有 极 大 值， 所 以 函 数 在 点，处 ，在 点 ，再 求 出 二 阶 偏 导 数 、， 得 驻 点解 ： 由 fACBA fyfffyf yxxyx 25.将函数 f(x)= 展开为(x+1)的幂级数.21x).02-(1.1.4321 1.1.1,-2 32 4322 xxnxf xnxxxx n，所 以两 端 分 别 求 导 ， 得 ，解 ：
