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1、2006 年下半年离散数学 （闭卷）70 学时任课班级：114051-4、111051-2任课教师：孙明 1离散数学（A 卷）闭卷、70 学时一、填空选择题 (每空 1 分，共 26 分)1、给定命题公式如下： 。该公式的成真赋值为 A,成假赋值为(rqpB,公式的类型为 C。供选择的答案 A：无；全体赋值；010，100，101，111； 010 ， 100， 101， 110， 111。B：无；全体赋值； 000 ， 001， 011；000，010，110。C：重言式；矛盾式； 可满足式 。 2、在公式 中， 的辖域是 P(z) Q(x,z) ),(),()( yxRyxQPx（ ， 的
2、辖域是 R(x,z) 。y3、设 Z+=xxZX0, 1, 2, 3是 Z+的 3 个划分。 1=xxZ +, 2=S1,S2,S1为素数集,S 2=Z+-S1. 3Z +,(1)3 个划分块中最多的是 A,最少的是 B.(2)划分 1对应的是 Z+上的 C, 2对应的是 Z+上的 D, 3对应的是Z+上的 E.供选择的答案A:( ),B:( ) 1, 2, 3.C:( ),D:( ),E:( )整除关系；全域关系；包含关系；小于等于关系；恒等关系；含有两个等价类的等价关系；以上关系都不是。4、设 f：RR, g：RR,g(x)=x+2, 则 fg(x)为 32)(xxf，gf(x) 为 ，g
3、1)(2xf 302)(xxff：RR 是 A，f -1 B ,g -1 C.供选择的答案A；单射不满射；满射不单射； 不单射也不满射 ；双射；B：（ ） ，C ：（ ）：不是反函数；是反函数； 2006 年下半年离散数学 （闭卷）70 学时任课班级：114051-4、111051-2任课教师：孙明 25、设 G=0，1，2，3 ，若为模 4 乘法，则构成 A.若为模 4 加法，则 是 B 阶群，且是 C 。G 中的 2 阶元是D，4 阶元是 E 。供选择的答案A；群； 半群 ，不是群；B： 有限 ；无限。C：Klein 四元群；置换群； 循环群 ；D（ ） ，E （ ）：0；1 和 3；2。
4、6、设（A,）是代数系统，二元运算和对于 A 是封闭的。如果对于A 中任意的元素 a，b，c 满足 交换律 、 结合律 和 吸收律 ，则称（A，）是格。7、6 个顶点 11 条边的所以可能的非同构的连通的简单的非平面图有4 个，其中有 2 个含子图 K3,3,有 2 个含与 K5 同胚子图。二、计算题：（每题 5 分，任选 6 题，共 30 分）1、计算幂集 P(A)。 023xRxA答：P(A)=,-1,1,2,-1,1,-1,2,1,2,-1,1,22、设 S1，2，3，4，R 是 S 上的二元关系，其关系矩阵为求R 的关系表达式。dom R=?,ran R=?RR 中有几个有序对？R -
5、1的关系图中有几个环？答：关系表达示：,dom R=1,2,3,4,ran R=1,4 7 13、SQQ，Q 为有理数集，*为 S 上的二元运算，任意，S 有 * *运算在 S 上具有哪些主要性质；*运算有无单位元，零元？如果有请指出，并求 S 中所有可逆元素的逆元。答： *运算不是可交换的；可结合的；在 a=0 且 bQ 或者1，0时满足幂等律。 1，0为*运算的单位元。对任意a,bQQ ，只要a；不存在零元。10102006 年下半年离散数学 （闭卷）70 学时任课班级：114051-4、111051-2任课教师：孙明 34、有向图 D 如图 1-1 所示， 求 D 中长度为 4 的通路总
6、数是多少？并指出其中有多少条是回路？ 其 图 1-1答： A2= A3= A4=102A2103201从 A4 可看出，D 中长度为 4 的通路有 23 条，其中 7 条为回路。530215、当 n 和 m 为何值时，完全二部图 Kn,m 是欧拉图；哈密顿图；平面图；非平面图。答：n 和 m 都是正偶数；n=m 且 n=2；n=3，m=36、设无向树 T 由 7 片树叶，其余顶点的度数均为 3，求 T 中 3 度顶点数，能画出几棵具有此种度数的非同构的无向树？答：T 中有 5 个 3 度顶点。设 T 中有 x 个 3 度顶点，则 T 中的顶点数 n=7+x,边数 m=n-1=6+x,由握手定理
7、的方程 2m=12+2x=3x+7,解出 x=5,T 的度数列为1，1，1，1，1，1，1，3，3，3，3，3。有两棵非同构的树。7、在图 1-2 所示的无向图 G 中，黑线边所示的子图为 G 的一棵生成树 T,求 G 的对应于 T 的基本回路系统。对应生成树的弦分别为 e6,e7,e8,e10,e11。设它们对应的基本回路分别为 C1,C2,C3,C4,C5，从对应的弦开始，按逆时针（也可都按顺时针）的顺序写出它们，分别为C1 e6e4e5 C2 e7e2e1 C3 e8e9e2e1 C4 e10e3e5e2 C5 e11e3e5e2e9此图的圈秩为 5，基本回路系统为 C1,C2,C3,C
8、4,C5。2006 年下半年离散数学 （闭卷）70 学时任课班级：114051-4、111051-2任课教师：孙明 4三、证明题（每题 6 分，任选 4 题，共 24 分）1、设 H1 和 H2 是群的两个互不包含的子群，证明 G 中存在一个元素，它既不属于 H1，也不属于 H2。证明：因为 H1 H2,所以存在 aH 1,且 a H2，又因为 H2 H1，所以存在bH 2,且 b H1，显然 a*bG，因为 aH 1,是 的子群，可推出 bH 1,这与 b H1 矛盾。同理可证，a*b H22、证明欧拉图中必没有割边。证明：主要利用“无向图中，奇度顶点的个数为偶数”这一结论用反证法，设欧拉图
9、中含有割边。由于欧拉图中每一个顶点的度数为偶数，所以割边的两个端点也是偶数度顶点。删去割边后，构成两个连通分支，每个连通分支都含有割边的一个端点；此时每一个连通分支中仅有一个奇数度顶点，这与已知矛盾。所以，欧拉图中没有割边。3、设是格，任取 aL,令 SxxL xa证明是 L 的子格。证明：对于任意的 x,yS，必有 x a 和 y a,所以 xy a,xy a，故xyS, xyS, 因此是的子格。4、设 G 是 6 阶无向简单图，证明 G 或它的补图中存在 3 个顶点彼此相邻。证明：设 6 个顶点的简单图为 G,考察 G 中的任意一个顶点 a，那么，另外 5 个顶点中的任何一个顶点，要么在图
10、 G 中与 a 邻接，要么在图 G中与 a邻接。这样，就把 5 个结点分成两类，将会必有一类至少含有三个顶点。不妨假设其中的 3 个顶点为 b，c，d。该图必是图 G*的子图（这里图 G*可能是 G或者是 G） 。如果边(b,c),(c,d),(b,d) 中有一条边在 G*择优 3 个顶点邻接。如果边(b,c),(c,d),(b,d)都不在 G*中，那么必在 G*的补图（或是图 G或者是 G）中，因此，必有 3 个顶点邻接。5、设 n 阶 m 条边的平面图是自对偶图，证明 m=2n-2.证明；设 G*图是 G 的对偶图，所以 G 必为连通的平面图，且n*=r,m*=m,r*=n 于是 n=n*
11、=r，由欧拉公式可知，n-m+r=2=n-m+n得 m=2n-26、验证 K5和 K3,3都是极小非平面图。答：画图举例。四、应用题（每题 10 分，共 20 分）1、在自然推理系统 F 中，证明下面推理：每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车。每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。有的人不喜欢乘汽车。所以有的人不喜欢步行。 （个体域为人类集合） 。解：设 P(x)：x 喜欢步行； Q(x)：x 喜欢乘汽车； R(x)：x 喜欢骑自行车；本题符号化为 前题：x(P(x) R(x), x(R(x)Q(x) ，x Q(x) 2006 年下半年离散数学 （闭卷）70 学时任课班级：114051-4、111
12、051-2任课教师：孙明 5结论： x P(x) x Q(x) 前提引入 x(R(x)Q(x) 前提引入 Q(c) EI 规则 R(c) Q(c) UI 规则 x(P(x) R(x) 前提引入 P(c) R(c) UI 规则 R(c) 析取三段论 P(c) 拒取式 x P(x) EG 规则2、今有 n 个人，已知他们中的任何二人和起来认识其余的 n-2 个人。证明：当 n3 时，这 n 个人能排成一列，使得中间的任何人都认识两旁的人，而两旁的人认识左边（或右边）的人。而当 n4 时，这 n 个人能排成一个圆圈，使得每个人都认识两旁的人。解：设 n 个人分别为 V1,V2,V3,Vn,V=V1,
13、V2,V3,Vn为顶点集。若Vi与 Vj认识，就在代表它们的顶点间连一条无向边，得边集 E，于是的无向简单图 G=。对于任意 Vi,VjV，假设 Vi与 Vj不相邻，则对任意VkV， （kj）必与 Vi或 Vj相邻。否则与已知条件矛盾。不妨假设，V K与 Vi相邻，与 Vj不相邻。那么 Vk与 Vi所代表的两个人都不认识 Vj所代表的人，这与已知矛盾。所以 VK与 Vi相邻，也与 Vj相邻。因此， Vi与 Vj都与其余的n-2 个顶点相邻，从而 deg(Vi)+deg(Vj)=n-2+n-2=2n-4,由于 n 3,则 2n-4 n-1。由定理 15.7 可知，G 中存在哈密顿通路。当 n 4 由于 2n-4 n 由定理 15.7的推论可知，G 是哈密顿图。图 1-2
