离散数学11群与环

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1、1/21 第 11 章1第十章 群与环11.1 设 ，问下面定义的二元运算 关于集合 是否封闭？是否10,9876,5432,1AA是可结合的？（1） ；),max(y（2） 与 的最小公倍数；（3） 与 的最大公约数；xy（4） 。解（1） 关于集合 是封闭的；是可结合的。A（2） 关于集合 不封闭。因为 。显然也不可结合。A1472（3） 关于集合 是封闭的；是可结合的。（4） 关于集合 不封闭。因为 。显然也不可结合。311.2 是自然数集。定义 上的运算 ， ， 。 问 是NNNmn, mn2否是 上的可结合的二元运算。请证明或举反例说明你的结论。解不是可结合的二元运算。因为 1684

2、)62(4)3( 248显然， 。)3()(11.3 ，在 上定义一个运算： ， 。试给出 关于运算,cbaAAAyx,xyA的乘法表，并证明 是半群。),(解关于运算 的乘法表如下：* abcc（1）封闭性对于 ，显然有， 。Ayx, Axy2/21 第 11 章2（2）结合律因为对于 ，我们有 ，且 ，所Azyx, xyzx)( xyz)(以 。x)()(综上所述， 是半群。,11.4 是自然数集，在 上定义一个二元运算 ： ， 。试问NNNyx,yx是否是半群，是否有左、右幺元和幺元。),(解（1）封闭性对于 ，显然有 。Nyx, Nxy（2）结合律不满足因为 ，但25682)3(3 6

3、4323)( 所以， 。)(故 不是半群。),(N（3）1 为右幺元因为 ，显然有 ，所以 1 为右幺元。xx1（4）无左幺元，无幺元。11.5 设 是自然数集，在 上定义运算： ， 。 是否是NNNba, 3ba),(N半群? 若是，证明之，若不是举例说明。证明（1）封闭性对于 ，显然有 。ba, ba3（2）结合律因为 ，有 ，Nc, 63)()()( cbacbacc且 。63)3()( baba所以， 。cc(综上所述， 是半群。),N11.6 是自然数集。在 上定义运算 ： ， 。证明：Nnm, nm3/21 第 11 章3是一个含幺半群。),(N证明（1）封闭性对于 ，显然有 。n

4、m, Nnmn（2）结合律因为对于 ，我们有：Nt, nttntn)()(且 mmtm所以， 。t)()（3）幺元0 为幺元。因为对于 ，有 。N m000综上所述， 是一个含幺半群。),(11.7 ， 是实数集。在 上定义一个运算： ，10|xRAAAyx,。xyyx（1）证明 是一个含幺半群；),(（2）说出 不是群的理由。A（1）证明封闭性：对于 ，显然有 。yx, Axyyx结合律：对于 ，我们有：z xyzyzxyxzyx)()(z显然有， 。yxyx)()(幺元：0 为幺元。因为 。xxx000综上所述， 是一个含幺半群。),(A（2）解因为对于 ，有 ，即 1 不存在右幺元，所以

5、不存在幺元。1x0y4/21 第 11 章4因此， 不是群。),(A11.8 是半群， 是 中的一个元素，使得对 中的每一个 ， 中就存在满足下述aAxA条件的 和 ，使 。证明： 中存在幺元。uvxvu证明对于 ，存在 ，使得 ，于是对于 ，因为 ，使得x1ea1xu，所以 。即 是左幺元。ua ueua)()(1 1e对于 ，存在 ，使得 ，于是对于 ，因为 ，使得x2e2Axv，所以 。即 是右幺元。v avevv)(*)( 2e综上所述， 中存在幺元。A11.9 设 是一个半群。若 ，由 ，可得 ，称元素是左可约),(SSyx, yxyx元。若 均是左可约元，证明 也是左可约元。bab

6、a证明对于 ，若 ，因为设 是一个半群，所以*满足结Syx, yx)()( ),(S合律，从而有 。因为 为左可约元，所以 。又因为baaybx为左可约元，所以 。byx因此， 也是左可约元。ba11.10 判断下列代数系统哪些是群？哪些是含幺半群？哪些是循环群？， ， ， ， ， ， ， ， ，),(R,),(Z,),(A),(S),(6Z),(6),(6Z5Z其中， ， ， 6,5432,106 06*5,4321,5， 。5*解是群，含幺半群，非循环群。),(R是群，含幺半群，非循环群。是群，含幺半群，循环群。),(Z是群，含幺半群，非循环群。5/21 第 11 章5是群，含幺半群，非循

7、环群。),(A含幺半群，不是群。S是群，含幺半群，循环群。),(6Z是群，含幺半群，循环群。含幺半群，不是群。),(65Z含幺半群，不是群。11.11 是有理数集。 ，在 中定义运算 ， ，定义：Q0QQyx,。证明： 是一个群。xyyx2),(证明（1）封闭性对于 ，显然有 。Qyx, Qxy2（2）结合律对于 ，有z, zyxzzxyzyxy )()(2)(4)()(（3）幺元为幺元。因为对于 ，有 。21Qx211（4）逆元对于 ，其逆元为 。因为 。xx41x442综上所述， 是一个群。),(11.12 设 是任意的一个非空集合， 是一个加群。令S),(G。对规定的运算： ，|的 单

8、射到是 GfSfGAS Agf，即 。证明 也是一个加群(加群即可换群) 。 )(:xgxgfAg,证明（1）封闭性对于 且 ，因为 和 为单射，所以存在唯一的 ，Af,Sxf Gxgf)(,又因为 是一个加群，所以存在唯一的 。因此，)(Gxfg)()(6/21 第 11 章6。Agf（2）结合律对于 且 ，我们有：hf,Sx)()()()( xhgxfhgfg xxf因为 是一个加群，所以 ，从而有，),(G )()()() xhxfxf，由函数相等的定义知，)( hgfxhgf 。)（3）幺元为幺元，其中 ，且 ， ， 为 的幺元。ef GSfe:Sxef)(),(G因为对于 且 ，我们

9、有 ，Ax )( xfefxfee 根据函数相等的定义知， ；同理可证， 。ffef（4）逆元对于 且 ，有 。因为 是一个加群，所以 。AfSxGxf)(),(Gxf1)(从而 且对于 ，有 为 的逆元。因为对于 ，GS:111xff S我们有 ，由函数相等的定义)()()()()(1 xefxfxf知， ；同理可证， 。e1 e（5）交换律对于 且 ，有 。因为 是一个加群，所以交换律Agf,SxGxgf)(, ),(知， 。又因为 ，)()(fx xgff，所以 。因此由函数相等的定义知，(xf )()(x。fg综上所述， 也是一个加群。),(A11.13 是一个群，取定 ，对于 ，我们

10、有定义：,*GGuGg21,7/21 第 11 章7。证明： 是一个群。2121*gug),(G证明（1）封闭性对于 ， ，因为 是一个群，所以 得2, 2121*gu,*)(GGu，从而有 ，因此 。Gu1 Ggu*1（2）结合律对于 ，我们有：g321, )*(*)*()( 31213121 gugug= 3211 )()g故结合律满足。（3）幺元为 的幺元。因为对于 Gg，我们有 ，同u),(G eug*1理有 。eg*1（4）逆元对于 ，其逆元为 。u1因为 )*(*)*( 11ggu1ueg*)(1u同理可证， 。)*(1综上所述， 是一个群。,G8.14 ， )(2是二个群。令 G

11、21，对于 ，我们定义,1 Gg),(,2121，证明：),)( 212gg为群。a,G8/21 第 11 章8设 ，则 是 的正规子群。)(b ,|),(2121的 幺 元是 GegeG1G证明a（1）封闭性对于 ，就有 ， 。因为 ，g),(,2121 11,g22,g),(1),(2G为群，所以 ， 。又因为 ，G22 ,()21g所以 。g1211),(（2）结合律对于 ，我们有：fedcba),(),( )(,(), fdbecafdcba因为 ， ),(2G是二个群，所以 ， 。从而有1 fdbf)(。,),(,),()(,)(, ecafecfecfedcba（3）幺元对于 ，有

12、 ， 。因为 ， ),(2G是二个群，所以它们存),(1a2b,1在幺元 和 ，从而有 。因为 ，所以1e2Ge),(2 ),(),1baeea是 的右幺元；同理可证， 是 的左幺元。故 是 的幺),(,(ba(21eb21元。（4）逆元对于 ，有 ， 。因为 ， ),(2G是二个群，所以G),(1a2b,1为 的逆元， 为 的逆元，显然有 。因为1a 2 ba1，所以 是 的右逆元；同理可证),(),(),(), 11eb ),(1,(是 的左逆元。故 是 的逆元。1 ba综上所述， 为群。),(G（ ）证明b（1） 因为 和 ),(2为群，所以有 即 ， 从而, 1G1g2Ge9/21 第

13、 11 章9。Geg121),(（2） 是 的子群对于 ，有 ， 且为 的幺元。eg1221),(, 121,Gg2e因为 为群，且 ，所以 ，从而有)(G ),(),()( 211eg。又因为,),(), 1212121221 eeegO 为群，所以 。由 的定义知 。)(g1G1211 ),(),(Geg因此， 是 的子群。1G（3）正规子群对于任意 ， ，有 ， 且 是 的幺元，从ba),(12),(eg1,ga2,eb2而有 。因为 ，)()(,),( 112 abaeg ),(1G2G是二个群，所以 ， ，从而由 的定11G 212ee义知， 。22),(),(),(geba综上所述

14、， 是 的正规子群。111.15 是有理数集，Q)(,0,| ., xfQfaQbfH babaa 即的 映 射到是且， 是映射的复合运算。证明x（ ） 是一个群。 ),(（ ） 是 的子群。bQbaHfKba,1|, ),(H（ ）证明（1）封闭性对于 ， ，因为有fdcba, x )()()(, dcxffxf badcbadcba ，且 ，所以由定义知 。Qbcx)( 0H,（2）结合律对于 ， ，我们有：Hffedcba, x10/21 第 11 章10badcfexdcfexfexfxff badcbaedcba )()()( ,f , 从而有， ，根据函)()( , xffxf edcbaedcba )(, xffedcba数相等的定义知， 。故 满足结合律。fff ,（3）幺元为幺元。因为对于 且 ，有 ，0,1f Hfba, Qx )()0()(,0,1, xfxff bababa 从而有 ，即 为 的右幺元；同理可证 为 的左幺元，故 为babaf,0,1, , 0,1