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1、,任意角的三角函数,浙江省宁波市鄞州中学 华婧（315101）,Sin180？,现实世界中有很多周期性的现象（比如钟表的指针），所形成的角不一定都是锐角，那么，我们又该怎样计算它们的三角函数值呢？等学完本节课，你就能找到这个问题的答案！,一、复习回顾,回忆：锐角三角函数,我们把一个锐角放进直角坐标系中,M,记,同样可以定义任意角的三角函数,M,二、任意角三角函数的定义,设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：,（1）y叫做的正弦（sine），记作sin，即siny,（2）x叫做的余弦（cosine），记作cos，即cosx,（3） 叫做的正切（tangent），记作tan，即
2、tan （x0）,【例1】：如图已知角的终边与单位圆的交点是 ，求角的正弦、余弦和正切值。,解：根据任意角的三角函数定义：,点评：若已知角的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。,概念理解,判断 终边相同的角的同名三角函数值相等 终边不同的角的同名三角函数值不等 若sin0,则是第一、二象限的角 若是第二象限的角，P(x,y)是其终边上一点， 则cos=,O,x,y,P（x，y）,M,分析：解RtOMP可得点 ，故,【例3】：求角 的正弦、余弦和正切值。,【练习】,1、求角 的三个三角函数值。,已知角 的终边经过 ，求 的3个三角函数值,提问：,分 ， 两种情形讨论,3、说明
3、的理由 ,它是今后角的讨论及确定三角函数值符号的重要依据。,+,Y0,+,Y0,Y0,Y0,x,y,+,x,y,+,x,y,0,0,0,X0,X0,X0,X0,+,X0，y0,X0,X0，y0,X0，y0,+,三角函数值的符号规律为,“一正二正弦，三切四余弦。”,注意,思考： 如果的终边在坐标轴上，三个三角函数的值又会怎样？,B,C,课前检验,特殊角的三角函数值,三、三角函数的定义域和值域：,例：求下列函数的定义域：,练习,练习,巩固（）已知 的终边过点 ，且 ，求：,（）已知 的终边过点 ，且 ，求：,不要遗漏 的情况.,四、诱导公式一：,例2 确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （
4、3）,例3 求下列三角函数值： （1） （2）,例4,两个概念 一.单位圆:圆心在原点,半径等于单位长度的圆. 二.带有方向的线段称为有向线段.(与规定方向相反就为负,与规定方向相同,就为正.),五、三角函数线,五 、三角函数的几何表示:,单位圆,四 、三角函数的几何表示:,单位圆,四 、三角函数的几何表示:,单位圆,正切线,正弦线,余弦线,思考： 当为第二、四象限角或轴线角时，又如何呢？,注意,1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，MP、OM、AT都是有向线段。,2.正弦线的始点是的终边与单位圆的交点P在x轴上的投影点，随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线
5、的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）.,3.当的终边不在坐标轴上时，MP和AT都平行于y轴，OM平行于x轴，方向与坐标轴相同时为正，相反时为负。,4.当的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点，正弦值和正切值为0，当的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，余弦值为0，正切线不存在。,例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线,（1） ； （2） ；,例2 在0 内，求使 成立的的取值范围.,P,M,方法：先确定角终边的临界位置，再结合图形观察三角函数线的取值变化，找出图中满足条件的角的范围，最后写出角的取值集合。,变：去掉0,练：求使下列不等式成立的x 的取值范围,例3 求函数的定义
6、域,探索题1：用三角函数线证明,探索题2：用三角函数线证明,探索题3：对于不等式 （其中为锐角），你能用数形结合思想证明吗？,同角三角函数的基本关系,1. 任意角三角函数的定义,2. 由定义知正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号,如图:,证明（利用三角函数定义）,由此我们得出同角三角函数的两个基本关系式,平方关系:,商数关系:,小结: 当角的象限不明确时,要注意根据已知角的三角函数值分象限进行讨论.,(一)基本关系式: 平方关系: 商数关系: (二)公式的应用: 知一求二:由一个角的某一三角函数值求出其它的两个三角函数值 (三)数学思想方法: 分类讨论 方程(组)的思想,PPT模板下载：
