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1、,任意角的三角函数,浙江省宁波市鄞州中学 华婧(315101),Sin180?,现实世界中有很多周期性的现象(比如钟表的指针),所形成的角不一定都是锐角,那么,我们又该怎样计算它们的三角函数值呢?等学完本节课,你就能找到这个问题的答案!,一、复习回顾,回忆:锐角三角函数,我们把一个锐角放进直角坐标系中,M,记,同样可以定义任意角的三角函数,M,二、任意角三角函数的定义,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:,(1)y叫做的正弦(sine),记作sin,即siny,(2)x叫做的余弦(cosine),记作cos,即cosx,(3) 叫做的正切(tangent),记作tan,即
2、tan (x0),【例1】:如图已知角的终边与单位圆的交点是 ,求角的正弦、余弦和正切值。,解:根据任意角的三角函数定义:,点评:若已知角的终边与单位圆的交点坐标,则可直接利用定义求三角函数值。,概念理解,判断 终边相同的角的同名三角函数值相等 终边不同的角的同名三角函数值不等 若sin0,则是第一、二象限的角 若是第二象限的角,P(x,y)是其终边上一点, 则cos=,O,x,y,P(x,y),M,分析:解RtOMP可得点 ,故,【例3】:求角 的正弦、余弦和正切值。,【练习】,1、求角 的三个三角函数值。,已知角 的终边经过 ,求 的3个三角函数值,提问:,分 , 两种情形讨论,3、说明
3、的理由 ,它是今后角的讨论及确定三角函数值符号的重要依据。,+,Y0,+,Y0,Y0,Y0,x,y,+,x,y,+,x,y,0,0,0,X0,X0,X0,X0,+,X0,y0,X0,X0,y0,X0,y0,+,三角函数值的符号规律为,“一正二正弦,三切四余弦。”,注意,思考: 如果的终边在坐标轴上,三个三角函数的值又会怎样?,B,C,课前检验,特殊角的三角函数值,三、三角函数的定义域和值域:,例:求下列函数的定义域:,练习,练习,巩固()已知 的终边过点 ,且 ,求:,()已知 的终边过点 ,且 ,求:,不要遗漏 的情况.,四、诱导公式一:,例2 确定下列三角函数值的符号: (1) (2) (
4、3),例3 求下列三角函数值: (1) (2),例4,两个概念 一.单位圆:圆心在原点,半径等于单位长度的圆. 二.带有方向的线段称为有向线段.(与规定方向相反就为负,与规定方向相同,就为正.),五、三角函数线,五 、三角函数的几何表示:,单位圆,四 、三角函数的几何表示:,单位圆,四 、三角函数的几何表示:,单位圆,正切线,正弦线,余弦线,思考: 当为第二、四象限角或轴线角时,又如何呢?,注意,1.三角函数线是三角函数的一种几何表示,即用有向线段表示三角函数值,MP、OM、AT都是有向线段。,2.正弦线的始点是的终边与单位圆的交点P在x轴上的投影点,随角的终边位置的变化而变化,余弦线和正切线
5、的始点都是定点,分别是原点O和点A(1,0).,3.当的终边不在坐标轴上时,MP和AT都平行于y轴,OM平行于x轴,方向与坐标轴相同时为正,相反时为负。,4.当的终边在x轴上时,正弦线、正切线分别变成一个点,正弦值和正切值为0,当的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,余弦值为0,正切线不存在。,例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线,(1) ; (2) ;,例2 在0 内,求使 成立的的取值范围.,P,M,方法:先确定角终边的临界位置,再结合图形观察三角函数线的取值变化,找出图中满足条件的角的范围,最后写出角的取值集合。,变:去掉0,练:求使下列不等式成立的x 的取值范围,例3 求函数的定义
6、域,探索题1:用三角函数线证明,探索题2:用三角函数线证明,探索题3:对于不等式 (其中为锐角),你能用数形结合思想证明吗?,同角三角函数的基本关系,1. 任意角三角函数的定义,2. 由定义知正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号,如图:,证明(利用三角函数定义),由此我们得出同角三角函数的两个基本关系式,平方关系:,商数关系:,小结: 当角的象限不明确时,要注意根据已知角的三角函数值分象限进行讨论.,(一)基本关系式: 平方关系: 商数关系: (二)公式的应用: 知一求二:由一个角的某一三角函数值求出其它的两个三角函数值 (三)数学思想方法: 分类讨论 方程(组)的思想,PPT模板下载: