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1、费尔马大定理- 怀尔斯的证明提要: 三个多世纪的著名数学难题,费尔马大定理,已被普林斯顿大学的怀尔斯证明, 并已获大奖. 震撼数学界的历史事件引起世界各界广泛热烈关注. 本文浅要地介绍整个事件的概况与传奇历史, 获奖情况与各家评论及影响意义, 怀尔斯的生平和特点, 历尽曲折的八年证明中的故事, 也在最后介绍有关的现代数学知识和怀尔斯的证明思路,并附较全的资料信息源.1. 概述历史大难题费尔马大定理的证明已被确认，论文已在 1995年发表1-2. 给出证明的数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew J. Wiles)1953 年生于英国, 现为美国普林斯顿大学教授. 已获得沃尔夫奖和国家科学
2、院奖.世界性的费尔马热向更深入的层次发展.许多地方纷纷举行有关的学术研讨班. 本文将介绍最终的证明情况和获奖评论等情况，并在最后适当解释一些数学. 有关历史及 1985年前情况可见文3-4.费尔马大定理又称费尔马最后定理(Fermat's Last Theorem),是著名法国数学家费尔马在约 1637年写下的一个猜想：对于任意大于 2的整数 n , 不可能有非零的整数 a, b, c 满足 . 这是他写在古希腊数学家丢番图的名著?算术?的页边上的.猜想提出后二百年间，只解决了 n=3, 4, 5, 7这四种情形.在约 1847年，库木尔(事实上)创立了代数数论,可以发展出对于许多 n
3、的证明.但经 350多年无数人的努力,直到 1993年终不能完全证明。此次的转机始于 1985-86年. 福雷(G. Frey)1985 年断言, 谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想(即椭圆曲线都是模的)包含费尔马大定.理 1986年夏，瑞拜特(K.Ribet)用塞尔(Serre)的设想证明了福雷的断言.因此从 1986年起,要想证明费尔马大定理就只要证明谷山丰-志村五郎猜想即可. 这里的数学关系其实可简述成这样(即反证法): 先假设费尔马大定理不正确, 即 对某三个整数 a, b, c成立,那么福雷建议考虑方程 所表示的曲线 E (这是一条半稳椭圆曲线). 瑞拜特证明了
4、 E不是模的; 只要能再证明 E是模的, 就导致了矛盾.就说明原来的假设不对,即得费尔马大定理正确.怀尔斯得知瑞拜特的结果后,立刻决心研究. 潜心七年. 终于在 1993年 6月 23日上午 10点半左右在英国剑桥大学牛顿研究所, 在连续三天的讲演的最后, 概述证明了谷山丰-志村五郎猜想的一大部分，从而证明了费尔马大定理. 这立刻震动了世界.一片节日欢庆. 但数月后，怀尔斯的证明逐渐被发现有问题. 怀尔斯在1993年 12月 4日发出电子信, 称证明的最后部分不完全, 但相信可修复. 一时间, 漏洞能否最终修复,世界注目,历史走到了一个关键时刻. 大多数专家相信漏洞不久可修复, 并且高度评价怀
5、尔斯工作的正确部分. 但也有各种议论. 著名专家伐尔廷斯(G.Faltings)1994 年 3月在科学美国人期刊上说:"如果它是容易的, 他到现在就该已经解决过了.严格地说, 它被宣布的时候还不是一个证明."威耳(A.Weil)也在该期刊写到:"我相信他曾有过好的想法去尝试作出证明, 但是证明不在那里. 在某种程度上, 证明费尔马大定理象爬埃佛勒斯峰(即珠穆朗玛峰作者注). 如果一个人想要爬上埃佛勒斯峰而在离它百码之近倒下了, 那他没有爬上埃佛勒斯峰."怀尔斯的研究非常艰苦. 多种尝试, 包括他的学生泰勒(K.Taylor, 英国剑桥大学)1994 年
6、春起的协助, 均告失败. 1994 年 8月 11日下午他在苏黎世"国际数学家大会"作大会最后报告时, 未有任何新进展, 会下笔者见他异常憔悴. 九月“当泰勒仍然不相信欧拉系统法无可挽回的时候",怀尔斯决定再最后看一眼自己曾用过的环论老想法, 突然在 94年 9月 19日的思维闪电中找到了迷失的钥匙.然后他将此论述告知泰勒, 二人核实细节. 怀尔斯最终完成了历史性长篇论文“模椭圆曲线和费尔马大定理" 并将支持此文的最后工作细节与泰勒合写成短文“某些亥克代数的环论性质". 1994 年 10月 6日, 他将新证明送给三位同事看, 包括伐尔廷斯.
7、二文受到谨慎的欢迎. 最后发表在数学年刊（普林斯顿大学协办）第 141卷(1995 年)，整整占满了全卷, 收稿日期分别标为 1994年 10月 14日和 7日(即文1和2, 以下简称怀文和怀泰文). 怀尔斯的论文迅速得到国际数学界的承认，并连续获得沃尔夫奖（1996 年 3月）和美国国家科学院奖（1996 年 6月）.怀尔斯最后发表的论文1, 与作者原见到的他 1994年10月的预印本（见文3中介绍）内容几乎完全相同，但引言部分已全然重写，详细地说明了他的研究历程，也简介了主要数学结果.从此引言中可以看出，怀尔斯本人确是当之无愧的费尔马大定理的唯一证明人.这澄清了前些时少数人的猜疑. 怀文共
8、 109页，五章. 在标题下首先引述了费尔马当年作出猜想的那段名言原文.接着是11页引言.引言最后写道:“很高兴感谢剑桥会议后仔细阅读此文部分早期草稿的人，特别是特别是慨次(N.Katz),他耐心地回答了我在欧拉系统工作过程中的许多问题，并与伊录西(Illusie)一起审读了该欧拉系统论证.他们的提问引导我发现了问题的所在.慨次也审听了我在 1993年秋的首次改正尝试. 我也很感谢泰勒，为了他在深入地分析欧拉系统论证中的帮助. 我很感激戴邙德(F.Diamond)，为了他在准备此文最后定稿时的慷慨帮助. 除了他的许多珍贵建议外，其他一些人也作了很有帮助的评论和建议，特别是康莱德，得·
9、沙利特, 伐尔廷斯，瑞拜特，茹宾，斯肯讷，和泰勒. 最后我极其感谢达尔蒙，为了他对于重新考虑我的老论证的鼓励.虽然我当时毫未注意他的劝告，但它当然留下了它的印迹."2. 获奖和评论1995-96年度数学沃尔夫(Wolf)奖由怀尔斯和朗兰兹(Robert P. Langlands)分享，于 1996年 3月 24日在耶路撒冷由以色列总统魏兹曼颁发，奖金十万美元. 沃尔夫基金会称，怀尔斯得奖是“由于对数论及相关领域的壮观贡献，由于在若干基本猜想上得到的巨大进展，由于解决了费尔马大定理". 美国数学会的报道说, 怀尔斯引入深刻的奇异的方法, 对于数论中一些长期未决的基本问题的解决
10、作出了巨大的贡献.例如, BSD 猜想, 伊瓦萨瓦(Iwasawa)理论主猜想, 和谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想. 他的工作的顶峰是对令人称颂的费尔马大定理的证明, 此定理塑造了过去两个世纪大多数论的形态. 朗兰兹是 60岁的著名数学家，他的“朗兰兹猜想"影响深远，博大精深.沃尔夫数学奖的历届得主都是极负盛名的数学家，沃尔夫捐款在 1978年设立. 也有化学,医药,农业,和艺术奖.（沃尔夫原居德国，一战前移居古巴，1961 年起任古巴驻以色列大使，后留居以色列）.怀尔斯获美国“国家科学院奖”被宣布是奖励“他对费尔马大定理的证明，这是他发明了一种美丽的战略，
11、证明了志村五郎-谷山丰猜想的一大部分才完成的;也是奖励他在追求自已的思想实现的过程中所表现出的勇气和技巧力量". 此奖是在 1988年为纪念美国数学会一百周年设立的, 奖金五千美元，奖给近十年内发表的杰出数学研究. 以前的得主是朗兰兹(1989)和麦克费尔逊(1993).美国数学会在上述得奖报道中,刊登了怀尔斯过去的导师剑桥大学的蔻茨(J. Coates)的评论文章. 文章说: 怀尔斯在牛津大学毕业后, 于 1974-75学年度到剑桥."他的天才很快被斯文哪尔敦-戴尔(Swinnerton-Dyer)注意到. 他因管理剑桥大学太忙, 不能作怀尔斯的研究生导师,对这我很高兴.
12、 结果当怀尔斯 1975夏开始科研时,我非常幸运地得以能指导他的数学研究第一步"."我们最后得以证明平行于伊瓦撒瓦的结果",证明了 BSD猜想的秩零特殊情况."我很快认识到他具有两个显著的数学禀赋,我相信这在他以后的全部数学生涯中都起了关键的作用.第一,他优先于一切地要去证明困难的具体定理,而不愿去作优美的无所不包的猜想. 第二, 他有惊人的能力去吸收大量的极高深极抽象的机制, 并在脚踏实地的问题中贯彻直到得出巨大的成果".到 1980年代中期, 怀尔斯"对于伊瓦撒瓦理论主猜想和关于希尔波特模形式的伽罗华表示的研究贡献, 已经使他成为
13、过去 150年以来对代数数论作出渊深贡献的极少数优秀数学家之一. 但是, 正象我们现在所知道的, 他并没有躺在这些桂冠上休息, 而从1986年夏他又一直默默地工作着, 朝向一个更伟大的目标.""过去 35年的代数数论和算术代数几何,大多被猜想所统治, 而少有肯定的定理. 这并不是要贬毁期间证明的许多优美的定理, 只是要指出太常有的情况: 面对着那些大叠大排的猜想, 这些肯定的结果显得太拘谨, 而那些猜想的证明要留作代数数论的长期目标(例如, 椭圆曲线的 BSD猜想, 或者阿庭关于他的非阿贝尔 L-函数的全纯猜想). 安德鲁·怀尔斯的工作是对这种研究模式的绝妙解毒剂
14、,也是我们时代的最响亮的警示: 我们是能够期望最终解开数论中那些最深奥的神谜的."3. 怀尔斯生平怀尔斯 1953年 4月 11日生于英国剑桥.(所以他 1993年 6月宣布证明时,刚过四十岁生日两个多月.) 1971年入牛津大学莫顿(Merton)学院学习, 1974 年获该校学士学位. 同年入剑桥大学柯雷尔(Clare)学院学习, 1980年获该校博士学位. 1977至 1980年，是柯雷尔学院的“青年研究会员 ”和哈佛大学的 “本杰明·裴尔斯助教授 ”. 1981年是波恩的“理论数学专门研究院” 访问教授，此年稍后，为美国普林斯顿的“高等研究所 ”研究员 . 1982
15、年成为普林斯顿大学教授，该年春是奥赛的巴黎大学访问教授. 作为古根海特别研究员，他 1985-86年是科学高级研究所(IHES)和高级师范学校(ENS)的访问教授. 1988至 90年，是牛津大学皇家学会研究教授. 1994年，他取得现在的普林斯顿大学欧根·黑金斯数学教授职位. 怀尔斯于 1989年被选为在伦敦的皇家学会研究员. 1995 年获瑞典皇家科学院的数学韶克奖. 同年获费尔马奖，由保罗萨巴提尔大学和马特拉马克尼空间颁发. 1996年获沃尔夫奖，和美国国家科学院奖哥德巴赫猜想与潘承洞人的首要责任就是要有雄心。在拿破仑的雄心中有某些高贵的因素，但是最高贵的雄心，就是要在死后留下
16、具有永久价值的东西。 哈代：一个数学家的自白 编者按： 也许是因为徐迟的那篇充满激情和诗意的报告文学，也许是因为历史的因缘凑合，哥德巴赫猜想居然成了中国人家喻户晓的一个名词。这个词代表了一段传奇，代表了一代人的集体记忆，也代表了一个民族的光荣与梦想。直到今天，仍然有难以计数的人们，有大学老师、中学老师，甚至工人、农民，为哥德巴赫猜想着魔。我们无法准确地评价延续 20多年的“哥德巴赫猜想现象” 。也许不同的人站在不同的视角上，都可以生发出自己的思考。而下面的文章，则纯粹从学术的角度介绍了哥德巴赫猜想的研究历史，也是一篇很好的科普文章。希望有助于人们更深入地了解哥德巴赫猜想，当然，我们也把此文献给去世 5年的潘承洞先生他的名字已经镌刻在哥德巴赫猜想研究的年表上。数学与数论数学王子高斯(C. F. Gauss)有一句名言：“数学是科学的女王”；他又讲“数论是数学的王冠” 。正如他所说，数论在数学中一直处于醒目的地位。 18世纪的领袖数学家拉格朗日(J. L. Lagrange)有一个著名的定理，即任何一个正整数都能写成四个整数的平方和。这个定理是费马(Fermat)早年的猜测，与拉格朗日同时代的大数学家欧拉(L. Euler)曾
