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1、理学其它相关论文-许宝騄对概率论与数理统计的卓越贡献摘要许宝騄是中国最早在概率论与数理统计研究方面达到世界先进水平的杰出数学家。他奠定了中国概率论与数理统计学科的基础,并为之付出了毕生精力。其研究成果已成为当代概率论与数理统计理论的重要组成部分,至今“许方法”仍被认为是解决检验问题的最实用方法。 关键词许宝騄概率论数理统计假设检验多元分析 许宝騄(19101970 年)是 20 世纪中最富有创造性的统计学家之一,是中国最早在概率论与数理统计研究方向达到世界先进水平的杰出数学家。他加强了强大数定律;研究了中心极限定理中误差大小的精确估计;发展了矩阵变换技巧;得到了高斯 2 马尔科夫(Gauss-
2、Markov)模型中方差的最优估计;揭示了线性假设似然比检验的第一个优良性质等 1 。其研究成果已经成为当代概率论与数理统计理论的重要组成部分,至今“许方法”仍被认为是解决检验问题的最实用方法。少年时代的许宝騄受益于表姐夫徐传元(毕业于美国麻省理工学院)的指导。1928 年,许宝騄考入燕京大学化学系,但对数学的浓厚兴趣,促使他改攻数学,并于 1930 年考入清华大学数学系。期间,深受熊庆来(18931969 年) 、孙光远(19001979 年)和杨武之(18961973 年)的教诲。1933 年,以优异成绩获得理学士学位。1936 年,通过赴英庚子赔款公费留学考试,进入伦敦大学学院(Univ
3、ersity College)的高尔顿( Francis Galdon,18221911)实验室和统计系学习数理统计学。1938 年获得哲学博士学位,两年后又获得理学博士学位 2 。 1940 年,许宝騄回到抗日烽火中的祖国,受聘为北京大学教授,在西南联合大学任教。1945 年,应加州伯克利大学和哥伦比亚大学的联合邀请而前往美国。1947 年 10 月,谢绝众多朋友的挽留,毅然回到中国,此后一直在北京大学任教。 许宝騄是中央研究院第一届当选的 5 名数学所院士之一。 1955 年当选为中国科学院学部委员。1979 年美国数理统计学年鉴高度评价了他对概率论与数理统计学科所做出的卓越贡献。1981
4、 年和 1983 年,科学出版社和德国施普林格( Sp ringer2Verlag)出版社分别出版了许宝騄文集和许宝騄选集。在美国斯坦福大学统计系走廊里至今悬挂着许宝騄的画像。 1984 年,为了纪念许宝騄及推进我国统计学的发展,数学家钟开莱、郑清水、徐利治发起设立“许宝騄统计数学奖”,奖励 35 岁以下研究数理统计与理论统计的青年工作者。这是我国最高的数学奖项之一。 1问津概率论王国 1880 年,英国学者傅兰雅( John Fryer, 18391928 )和中国数学家华蘅芳( 18331902 年)合译的决疑数学是传入我国的第一部概率论著作。由于种种因素,该书对我国的概率论发展没有产生多
5、大影响。辛亥革命后,微积分、近世代数、近世几何学等相继进入我国的高等教育领域,而概率论尚未进入。1915 年 1 月创刊的中国第一份现代科学杂志科学曾刊出一篇文章最小二乘式,此为我国第一篇概率论文章。后胡明复(18911927 年)曾撰写几率论、误差论等一系列论文探讨概率统计的哲学问题 3 。由于受中国传统数学思想的影响,加之近代数学基础薄弱,随机数学在我国发展甚是缓慢。直到 20 世纪 30 年代,我国数学家褚一飞、刘炳震、许宝騄、钟开莱等才陆续发表概率论与数理统计的研究论文,拉开了中国对概率论与数理统计研究的序幕。 许宝騄痛感中国数学之落后,怀着满腔的报国热情,决心把自己的事业立足于祖国。
6、 由于概率论与数理统计在中国几乎是空白的学科领域,于是,许宝騄以惊人毅力和无私奉献精神为其奠定了基础,并为之振兴付出了毕生精力。 在实际工作及理论问题中,概率接近于 1 或 0 的随机事件具有重要意义。概率论的一个基本问题就是探索概率接近于 1 的规律,特别是大量独立或弱相依因素累积结果所发生的规律。大数定律就是研究这种规律的命题之一。许宝騄对大数定律进行了深入探讨。 强大数定律和弱大数定律取决于收敛的类型。第一个弱大数定律由雅可布伯努利(Jacob Bernoulli, 16541705 ) 提出, 刻画了大量经验观测中呈现的稳定性。后泊松( Simon Denis Poisson, 178
7、11840)又提出了一个条件更宽的陈述,即泊松大数定律。 切比雪夫( P. L. Chebyshev, 18211894)第一次严格地证明了伯努利大数定律,并把结果推广到泊松大数定律。1866 年,切比雪夫给出著名的切比雪夫不等式,并由此导出切比雪夫大数定律。 第一个强大数定律由法国数学家博雷尔( Email Borel, 18711956)在 1909 年对伯努利试验场合建立。他证得若试验次数无限增加时,频率将趋于概率。博雷尔的工作激起了数学家沿这一崭新方向的一系列探索,其中尤以柯尔莫戈罗夫(A. H. Kolmogorov, 19031987)的研究最为卓著。他在 1926 年推导了弱大数
8、定律成立的充分必要条件,后又对博雷尔提出的强大数定律给出了一般结果。 许宝騄进一步加强了强大数定律的结论。其结果为:设 X1 , X2 , , Xn , 是独立同分布均值为零、方差有限的随机变量序列,任给 0,有n =1P 1n| X1 + X2 + Xn | 0, A2 0 为常数,来讨论以| u | c 为否定域的检验。许宝騄通过把 u 的密度函数展开成幂级数,研究了否定域| u | c 的势函数对参数的依赖关系。其主要内容是计算上述 U 检验的功效函数,并研究该检验在种种情况下的表现 9 。 这是一个精确的(不是渐进的)分析,当代统计学家谢非(H. Scheffe)称之为“数学严密性的范
9、本”。据许宝騄的研究结果所给出的方法后被称为“许方法”。 1941 年,许宝騄首次证明了方差分析中的 F 检验在功效函数观点下的优越性。方差分析中任一个效应有无的检验,都可以化为典则形式之下的假设。他证得若假设水平 的检验不是 F 检验,其功效函数在任一球面上保持常数,则此检验的功效必小于水平 的 F 检验的功效 10 。这是一元线性假设似然比检验的第一个优良性质,其本质上是对任何特定多于一个参数值假设的第一个非局部的优良性质。许宝騄考察了高斯 2 马尔科夫模型中方差的最优估计问题,得到了样本方差为总体方差的最优二次无偏估计的充要条件。后来的研究表明,许宝騄的结果是近年来研究方差分量模型和方差
10、最优二次估计的起点。 许宝騄证明了似然比检验在所有功效函数仅依赖于一个非中心参数的所有检验中是一致最强的。这个条件等价于势函数在某一类自然变换下的不变性,由此开创了假设检验的两个发展方向: (1)将所得形式推广到多元问题(郝太林的 T2 及多元相关系数) ; (2)提供了获得所有相似检验的新方法。 正是在许宝騄的建议下,其学生席玛卡(J. B. Simaika)和莱曼( E. L. Lehmann)将这个方法用于其它问题,后莱曼和谢飞形成了完备性的概念。 3推进多元分析发展 皮尔逊的数理统计学建立在自然总体的“大样本”基础上,而费希尔则着重处理受控实验中“小样本”的统计分析。后者在数学上占有优
11、势,频频对前者发起攻击,尖锐地批评皮尔逊所提出的 x2 检验。 奈曼和小皮尔逊在 1933 年发表了关于假设检验的论文,把检验问题作为一个数学最优化问题来处理,发展了费希尔的研究工作。由于费希尔对皮尔逊有成见,因而对奈曼和小皮尔逊的研究也不以为然,甚至称其编辑的统计学研究通报是“一堆破烂货”。由于和费希尔的矛盾,奈曼感到在英国难以发展,于 1938年 4 月应聘为美国加州伯克利大学数学系教授,并筹建了统计实验室。 加州伯克利大学统计实验室在二战后逐步取代了伦敦大学学院的统计系地位,成为世界数理统计学的中心。相比之下,当时苏联在概率论领域虽领先于世界,但在数理统计领域远远落后于美国。在 20 世
12、纪 50 年代大力倡导“学习苏联”时期,中国统计学也长时期得不到发展。 奈曼犹如伯乐,慧眼识俊才。他非常器重许宝騄,认为许宝騄是新一代数理统计学家中的佼佼者,一度选定其为接班人。1945 年,奈曼邀请许宝騄参加了第一届伯克利概率统计讨论会,并聘请他为伯克利统计实验室教师。校方仅聘许宝騄为讲师,奈曼为此大声疾呼,表示了强烈不满。1946 年秋,许宝騄开始在教堂山(Chapel Hill)教学,奈曼还曾去看过他。当许宝騄回国时,奈曼一再挽留,想把他争回自己的麾下。回国后,许宝騄也与奈曼保持了多年的联系。许宝騄对科学所做的贡献以及孜孜以求的好学精神,是与奈曼的教诲和影响分不开的。 如果个体的观测数据
13、能表示为 P 维欧几里得空间的点,那么这样的数据叫做多元数据,而分析多元数据的统计方法称为多元统计分析。主要多元分析方法有:多重回归分析、判别分析、聚类分析、对应分析、典型相关分析、多元方差分析等。许宝騄在哥伦比亚大学和教堂山讲授多元统计分析,培养学生从事这一领域的研究。 自 20 世纪 30 年代起,费希尔、郝太林、许宝騄等做出了一系列奠基性的工作,使多元统计分析在理论上得到迅速发展。1938 年到 1945 年,许宝騄所发表的相关论文一直处在多元统计分析理论的前沿。在多元分析假设检验理论中,许宝騄最先讨论了优良性,是奈曼-皮尔逊的假设检验理论在多元分析中应用的先导。他推进了矩阵论在数理统计
14、理论中的应用。许宝騄把矩阵论中处理问题的方法引进了数理统计的研究,实质上这是一个长方阵在某一变换群下的标准型。有了线性模型的法式,使估计和假设检验问题变得十分简明。 费希尔创立的“n 维几何”方法,使数学家们获得了一些重要统计量的精确分布。典型例子是 1928 年维夏特(J. W ishart)导出了任意维正态样本全体二阶矩的联合分布维夏特分布。 不少学者给出维夏特分布的不同证明。1939 年,许宝騄利用数学归纳法推导出维夏特分布。他假定对 n - 1, p - 1 成立来推导对 n, p 的密度函数。除了密度函数中的矩阵外,还需要一个( p - 1)维的正态向量和一个 n 维的正态变量,在证
15、明过程中所需的分析推导仅仅是 n 维向量模的平方是 x2n 分布 11 。专家们一致认为许宝騄的推导方法是最优美的一个。 文中许宝騄的另一个杰作就是得到了现今所称的许氏公式:当 np1 时,有 f ( xx) dxn p=np2 -p4 ( p - 1) p- 1j=O(n -j2) A 0| A |n - p- 12 f (A ) dA 该公式是处理 20 世纪 80 年代所形成的椭球等高分布统计量的有力工具。 多元分析中一个基本分布是关于随机正定阵相对特征根的分布。线性模型中线性假设的检验问题,都与这些特征根有关。若正定随机矩阵 A 和 B 相互独立,各自遵从维夏特分布 W (m, p p
16、) 和 W ( n, ) ,且m p, n p,1 p 0 表示| A - (A +B ) | = 0 的 p 个根,寻求 1 , ,p 的联合密度是一个重要研究课题。在 20 世纪 30年代末,许宝騄和一些著名统计学家,都对其进行了探讨。在众多方法中,许宝騄的方法严密而清晰,他以矩阵微分为工具,计算了一些复杂变换的雅可比行列式,而导出相应的分布 12 。 这个方法的难点是计算雅可比行列式,许宝騄在文章中给出了任意阶的雅可比行列式结果,并证明了 3 阶行列式情形。其学生安德逊( T. W. Anderson)详细介绍了这一工作,认为某些雅可比行列式的计算是许宝騄的杰作。 许宝騄把数学家分成三流。第一流的数学家是天才, 他们能开创新的领域,如柯尔莫哥洛夫、诺依曼(John von Neumann, 1
