数学竞赛题中客观型试题求解策略

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1、我仰望夜空，有流星划过天际，发出璀灿夺目的光芒，是那样的绚丽和迷人。 愿我的灵魂能化作那遥远的星空，凝视着你，凝视着你 ，用一千双眼睛。 高明,数学之魂仰望夜空,我们的未来不是用我们今天的财富去度量的，而是用我们今天的精神生命去度量的。 高明 18990821851,赠诸君语,引子1,数学之魂仰望夜空,仰望夜空的人,泰勒斯誉称“科学之祖”，古希腊第一位哲学家。相传，他晚上走路，头望星空，看出第二天有雨。但一不小心，一脚踏空，掉进泥坑，后被人救起。第二天果然下了雨。有人讥笑哲学家知道天上的事情，却看不见脚下的东西。,仰望夜空的人,德国哲学家黑格尔说，一个民族只有有那些关注天空的人，这个民族才有希

2、望。如果一个民族只是关心眼下脚下的事情，这个民族是没有未来的。,仰望星空 温家宝 我仰望星空，它是那样寥廓而深邃； 那无穷的真理，让我苦苦地求索追随。 我仰望星空，它是那样庄严而圣洁； 那凛然的正义，让我充满热爱、感到敬畏。 我仰望星空，它是那样自由而宁静； 那博大的胸怀，让我的心灵栖息依偎。 我仰望星空，它是那样壮丽而光辉； 那永恒的炽热，让我心中燃起希望的烈焰、响起春雷。,仰望夜空,国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020年) 对教育的要求决定,仰望夜空教育发展,第十七章加强教师队伍建设 （五十一）建设高素质教师队伍。教育大计，教师为本。有好的教师，才有好的教育。提高教师地位，

3、维护教师权益，改善教师待遇，使教师成为受人尊重的职业。严格教师资质，提升教师素质，努力造就一支师德高尚、业务精湛、结构合理、充满活力的高素质专业化教师队伍。,（五十三）提高教师业务水平。完善培养培训体系，做好培养培训规划，优化队伍结构，提高教师专业水平和教学能力。通过研修培训、学术交流、项目资助等方式，培养教育教学骨干、“双师型”教师、学术带头人和校长，造就一批教学名师和学科领军人才。,引子2,数学境界,数学境界,“有境界自成高格”,境界二 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。,境界一 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。,做学问的三大境界,境界三 众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。

4、,学好、教好数学的三个境界,数学是一首诗，充满想象、智慧、创造、和谐、挑战；数学是一首最高的诗，蕴含着灵感、激情与力量。,“一个数学家，如果他不再某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。” _Weiersterass,丰富的想象力和创造力,境界1、诗人的意境,“数学发明创造的动力不是知识，而是想象力的发挥”。 _德.摩根,“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，而且是知识进化的源泉”。 爱因斯坦,给我一个支点，我可以撬动地球。 阿基米德,想象是人类最美丽的翅膀,案例1、人类最豪迈的想象,法国哲学家沃尔泰评论阿基米德说：“Archim

5、edes 头脑中的想象力要超过Homer（荷马）。”,案例2 诗词与数学意境,黄 鹤 楼 送 孟 浩 然 之 广 陵,案例3 诗词与数学意境,在陈子昂看来，以他自己为原点，前不见古人指时间可以延伸到负无穷大，后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。,仰望夜空的古代诗人,数学是一首诗， 抽象而又具体； 数学是一幅画， 妙在似与不似之间。,登鹳雀楼 白日依山尽， 黄河入海流。 欲穷千里目， 更上一层楼。,案例4 诗词与数学意境,诗词与数学情境,诗词与数学意境,案例5 诗词与数学意境,只在此山中，云深不知处,只在此山中，云深不知处,抽屉原理：M个苹果放在N个抽屉里（MN），那么一定存在一个抽屉，其中

6、至少有两个苹果。,白居易赋得古原草送别,案例6 诗词与数学意境,离离原上草， 一岁一枯荣。 野火烧不尽， 春风吹又生。,“一岁一枯荣”的函数模型,“创新是一个民族的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力，也是一个政党永葆青春的源泉”。 江泽民,伟大的类比（创新）开普勒,案例1 圆的面积,拆分组合,案例2 命题“等腰三角形两底角相等”的证明,常规证明：添加辅助线,创新证明：“一分为二”,案例3 椭圆的面积与切线方程,案例4 丑陋的证明完美的演绎,案例5（创新型问题）牛羊同船问题,今有船载有牛37头，羊57只，问船长年龄多大？,答案：20岁。已具备小学文化水平。,答案：94岁。拉出教室，痛打一顿。,案例6

7、 天上掉下个林妹妹,熟悉知识：完全平方公式,创新看法：,（余弦定理）,参与课堂教学，师生共做； 参与课后活动、资料收集； 按时完成任务、积极思考。 用2/3的时间去想，用1/3的时间去做。 斯泰纳 “探索是数学的生命线”。 布鲁纳,境界3积极参与教学活动（落脚点）,做行动的巨人，不做语言的矮子。,中学数学解题研究,从教学内容看，普通学科课有较稳定的教学内容，选择的知识主要是学术理性知识，教材有严密的、科学的编排体系。而活动课、研究课的教学内容、选择的知识主要是现实有用的经验性知识，具有较强的实践性。,从施教方式看，普通学科注重的是学生在教师指导下，以简约的方式学习人类千百年来积累下来的知识精华

8、，并经过反复练习和巩固。它主要采用班级授课制，以课堂教学为主，以教师传授知识为主，教师居于主导地位。而活动课、研究课侧重的是学生个体实践，直接体验和感受，它的教学组织形式灵活多样，不受课堂限制（讲练结合）。可以是班级的，也可以是小组的，个别的和群众性的；可以在课内，也可以在课外，也可以走向社会。它以学生的独立自主活动为主，教师起引导作用。,题记 更高、更快、更强、更准、更简,数学不是音乐，但它能激发和抚慰情怀； 数学不是绘画，但它令人赏心悦目，神情向往； 数学不是诗歌，但它使人动人心弦，沁人心脾； 数学不是体育，但它具有很强的竞技性和技巧性。,英国大文豪萧伯纳曾说：“如果你有一个苹果，我也有一

9、个苹果，我们交换的话，我们都只有一个苹果；如果你有一种思想，我也有一种思想，我们交换的话，我们都有两种思想。”,何为解题策略？ 所谓解题策略，是指主体解题时宏观上采取的方针、原则和方案. 从方法论上来分析，方法是有层次性的，解题策略是最高层次的解题方法，是解题中带有普遍适用性（普适性）的方法.,就解题的本原而言，一切策略的基本出发点是在于变换和化归。,变换即把面临的问题转化为一个或几个易于解答的问题，通过对转化后的问题的考察和解决，发现原问题的解题思路，最终达到解决原题的目的。,应用化归方法解题的一般程序,常用的解题策略主要有： 熟悉化策略 简单化策略 直观化策略 特殊化策略 一般化策略 整体

10、化策略 间接化策略,常用的解题途径,常用的解题途径与技巧,数学解题研究 数学客观型试题的解题口诀,解题口诀:,1、莫道猜字不禁风，合理预测建奇功 无中生有计无穷，合情猜测理相容,2、有穷无穷紧相连，静点美名天下传,3、代数问题几何攻，数形结合两相通,4、强攻无计弱开路，转换视觉目标注,5、特殊探路把门敲，化繁为简层次高,6、结构类型变换多，辅元引入 唱赞歌,7、概念问题不一般，关键环节定义牵,无招胜有招的境界,讲策略的目的是通过具体例题的解答（招数），体会到解答之外的“剑意”，然后在这个“剑意”的指挥下随心所欲使出来的招数都能克敌制胜。 招数是具体的，“剑意”就是具体例子中所蕴藏的共同点，就是

11、抽象。具体招数是“有招”，抽象的“剑意”是“无招”，通过“有招学无招”，再由无招演变出无穷多招数去解决问题，这就是“无招胜有招”。,策略一 合理预测法：依据题目中的信息特征，通过对试题条件及结论的深刻分析，先进行初步预测结果，再逐步验证，是解决问题的常用思路。,信息特征：数量特征、结构特征、关系特征、 图形特征、命题特征。,1、莫道猜字不禁风，合理预测建奇功 无中生有计无穷，合情猜测理相容,策略一之哲学依据,道德经之道经第一章 天地之始 道可道，非常道。名可名，非常名。 无，名天地之始也。有，名万物之母。 故常无，欲以观其妙。常有，欲以观其徼。此两者同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。,

12、反者，道之动。弱者，道之用。 天下万物生于有，有生于无。,道德经之道经第四十章 虚中生有,译文：发展是道之运动的内在动力，坚守柔弱是道的运动法则的具体运用。天下万物是从有中产生，有又从无中产生。,无中生有是指依据题目的信息特征，通过对试题条件、结论的深刻分析，先预测其结论具有某种特殊性，再根据研究对象的特征，逐步论证，逐步调整。“无”与“有”是相互矛盾而又相互依存的，“有”蕴涵在“无”中，“无”可以创造出“有”。 “无”孕育着不见踪影又无法寻觅，从整体到分散，再由分散聚为整体，包含一切变化。,无中生有合情预测,无中生有中的“无”指的是“虚”、“假”，有指的是真和实。“无”是迷惑解题的假象，“有

13、”则是假象掩盖下的真实企图。 无中生有就是虚虚实实，虚实互变，变假为真，变无为有，掌握解题的主动权。 关键在于真假要有变化，虚实必须结合，一假到底，难以解题。,例题讲解,评注 牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。 合理的思维策略是解题成功的前提，根据研究对象的特征，创造性做出“言之有理”的预测结果，然后再进行“持之有据”的论证。在探索解法的过程中发现了矛盾，就及时修正预测的结果，逐步找出正确的解法。正所谓“无中生有计无穷，合情预测理相容”。,练习,李白诗黄鹤楼送孟浩然之广陵,“孤帆远影碧空尽”朋友的身影渐渐消失在远方，而心中的情谊随着长江水滚滚流淌。帆影尽而情未尽，言有尽而意无

14、穷。,故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。 孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。,杜甫登高,风急天高猿啸哀， 渚清沙白鸟飞回。 无边落木萧萧下， 不尽长江滚滚来。,“无边落木”与“滚滚长江” 实无限和潜无限的数学价值,无边落木萧萧下的意境：实无限,从数学的眼光分析，前句展现的是“实无限”，“无边落木”是“无限多的所有落木”，这是一个实无限集合，一览无遗。,后句则体现“潜无限”，江水“滚滚”而来，尽管到此为止，还是有限的，却永远不会停止。,不尽长江滚滚来的意境：潜无限,策略二 极端原理法； 通过最大、最小、最远最近等特殊数量或位置的考察，从而发现问题的解题思路（特殊引路，探求一般证题规律）,2、有穷无穷

15、紧相连，静点美名天下传,1、 以退为进投石问路,2、动静结合破除定势,3、李代桃僵以小换大,2、有穷无穷紧相连，静点美名天下传,2、有穷无穷紧相连，静点美名天下传,观察、分析事物不能采用静止、孤立的思考方法，而应从变化、发展、运动的观点来剖析和判断。正确处理运动和静止的辨证关系，巧妙地将动静有机结合，破除思维定势，将问题的本质展现出来，起到化难为易，快速解题的效果。,动静结合破除定势,动静之机，阴阳之母。 阴不离阳，阳不离阴。 阴阳夑理，机在其中。 机不可设，设则不中。,哲学依据,所谓以退为进就是把一个比较复杂的问题，“退”到最简单、最原始的状态，找出规律，把简单情形作为考察问题的起点，使问题的解决产生一个质的飞跃，使问题进一步深化。从“退”中逐渐创造出“进”的解题条件，以实现“进”的目的。,以退为进投石问路,李代桃僵，以小换大,李代桃僵，以小换大在解题非常困难的情况下，用小的代价，换取大的胜利的策略或谋略。 其精要是隐微曲折，以退为进；要点是趋利避害“两利相权取其重，两害相衡取其轻”，以很小的精力，不为小利影响，要从全局的优劣形势分析对比，争取主动优势。,以退为进投石问路,例题讲解,动静结合破除定势,以退为进投石问路,数学家华罗庚曾经指出：善于“退”，足