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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解【详解提供】广东佛山市南海区南海中学 钱耀周 参考公式:台体的体积公式,其中分别是台体的上、下底面积,表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设集合,则( )A . B C D【解析】D；易得,所以,故选D2定义域为的四个函数,中,奇函数的个数是( )A . B C D【解析】C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为与,故选C3若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是( )A . B C D【解析】C；对应的点的坐标是,故选C4已知离散型随
2、机变量的分布列为正视图俯视图侧视图第5题图 则的数学期望 ( )A . B C D【解析】A；,故选A5某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . B C D【解析】B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为和的正方形,高为,故,故选B6设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若,则 B若,则C若,则 D若,则【解析】D；ABC是典型错误命题,选D7已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 ( )A . B C D【解析】B；依题意,所以,从而,故选B8设整数,集合.令集合 若和都在中,则下列选项正确的是( )A . ,
3、B, C, D, 【解析】B；特殊值法,不妨令,则,故选B如果利用直接法:因为，所以，三个式子中恰有一个成立；，三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：成立，此时，于是，；第二种：成立，此时，于是，；第三种：成立，此时，于是，；第四种：成立，此时，于是，.综合上述四种情况，可得，.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分是否输入输出结束开始第11题图n(一)必做题(913题)9不等式的解集为_【解析】；易得不等式的解集为.10若曲线在点处的切线平行于轴,则_.【解析】；求导得,依题意,所以.11执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为_.【解析】；第
4、一次循环后:；第二次循环后:； 第三次循环后:；第四次循环后:；故输出.12. 在等差数列中,已知,则_.【解析】；依题意,所以.xy441O 或:13. 给定区域:,令点集是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定_条不同的直线.【解析】；画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,及共个整点.故可确定条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_.AEDCBO第15题图
5、【解析】；曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.15. (几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,则_.【解析】；依题意易知,所以,又,所以,从而.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）已知函数,.() 求的值； () 若,求【解析】()；() 因为,所以,所以,所以.17（本小题满分12分） 第17题图某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.() 根据茎叶图计算样本均值；() 日加工零件个数大于样本均值的
6、工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；() 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.【解析】() 样本均值为； () 由()知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.() 设事件:从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,则.18（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,.COBDEACDOBE图1图2为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.CDOBEH() 证明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.【解析】() 在图1中,易得连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以,所以,理可证, 又,所以平面.()
7、 传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而CDOxE向量法图yzB所以,所以二面角的平面角的余弦值为.向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得由() 知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.19（本小题满分14分）设数列的前项和为.已知,.() 求的值；() 求数列的通项公式；() 证明:对一切正整数,有.【解析】() 依题意,又,所以； () 当时, 两式相减得 整理得,即,又 故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以. () 当时,；当时,； 当时, 此
8、时 综上,对一切正整数,有.20（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.() 求抛物线的方程；() 当点为直线上的定点时,求直线的方程；() 当点在直线上移动时,求的最小值.【解析】() 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得. 所以抛物线的方程为. () 抛物线的方程为,即,求导得设,(其中),则切线的斜率分别为,所以切线的方程为,即,即同理可得切线的方程为因为切线均过点,所以,所以为方程的两组解.所以直线的方程为.() 由抛物线定义可知,所以联立方程,消去整理得由一元二次方程根与系数的关系可得,所以又点在直线上,所以,所以所以当时, 取得最小值,且最小值为.21（本小题满分14分）设函数(其中). () 当时,求函数的单调区间；() 当时,求函数在上的最大值.【解析】() 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表:极大值极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. () ,令,得,令,则,所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,；当时,；所以令,则,令,则所以在上递减,而所以存在使得,且当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减.因为,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.第 7 页 共 4 页
