学案5 数列的应用

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1、从近几年的高考试题看，数列的综合应用成为命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现.主要是等差、等比数列综合题，或可转化为等差、等比数列的综合问题，或者与数列有关的应用题.数列与函数、方程、不等式等的学科内综合题近几年几乎没有考查，也就是说，数列的考查在总体难度上降了下来，这也是复习中注意的方面.,1.数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题.解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会. （1）数列是一种特殊的 ，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法. （2）转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂

2、的数列问题经常转化为 、 数列或常见的特殊数列问题.,函数,等差,等比,（3）由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想.已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的. （4）分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对 进行讨论；由Sn求an时，要对 进行分类讨论. 2.数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型.,n=1或n2,公比,（1）建立数学模型时，应明确是 模型、 模型，还是 模型，是求an还是求Sn. （2）数列综合应用题的解题步骤 审题弄清题意,分析涉及哪些数学

3、内容,在每个数学内容中,各是什么问题. 分解把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等. 求解分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答.,递推数列,等差数列,等比数列,具体解题步骤如下框图:,3、数列应用题常见模型 (1)银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y= . (2)银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x,则本利和y= . (3)产值模型 原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y= . (4)分期付款

4、模型 a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则,a(1+xr),a(1+r)x,N(1+p)x,已知an是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为an的前n项和. （1）求通项an及Sn; （2）设bn-an是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及前n项和Tn.,考点1 等差、等比数列的综合应用,【解析】（1）an是首项为a1=19,公差为d=-2的等差数列， an=19-2(n-1)=21-2n, Sn=19n+ n(n-1)(-2)=20n-n2. （2）由题意得bn-an=3n-1，即bn=an+3n-1, bn=3n-1-2n+21, Tn=Sn+(1+3+3n-1)

5、=-n2+20n+ .,【分析】在an中，因为a1,d已知，则an可求，Sn可求，而数列bn-an中，首项、公比已知，则通项可求，所以bn可求.,【评析】 （1）等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点. （2）利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值.同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可使问题易于解决；有些问题还需利用条件联立方程求解.,已知正项数列an的前n项和为Sn，且 是 与(an+1)2的等比中项. （1）求证：数列an是等差数列； （2）若bn= ，数列bn的前

6、n项和为Tn，求Tn.,【解析】 （1）证明：由题知Sn= (an+1)2, 当n=1时，a1= (a1+1)2,a1=1, 当n2时，an=Sn-Sn-1= (an+1)2- (an-1+1)2, (an+an-1)(an-an-1-2)=0. an0,an-an-1-2=0. 即当n2时，an-an-1=2. 数列an是等差数列.,（2）由（1）知数列an是以1为首项，以2为公差的等差数列. an=1+(n-1)2=2n-1. bn= = ， 则Tn= + + + + , Tn= + + + + , 由-得,又,已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,nN*. （1）证明：

7、an-1是等比数列； （2）求数列Sn的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值？并说明理由.,【分析】由于Sn=n-5an-85,故可由公式法求通项公式的思路消去Sn，建立an与an-1的关系.,考点2 数列中的最值问题,【解析】 (1)证明:Sn=n-5an-85, 当n=1时,S1=1-5a1-85, 即a1=1-5a1-85,解得a1=-14; 当n2时,an=Sn-Sn-1=(n-5an-85)-(n-1)-5an-1-85=-5an+5an-1+1, 整理得6an=5an-1+1, 6(an-1)=5(an-1-1), .又a1-1=-15, 数列an-1是以-15为首项, 为公

8、比的等比数列.,即 又 lg20.301 0,lg30.477 1, 14.9. 14.9k15.9. 又kN*，k=15. 即当n=15时，Sn取得最小值.,【评析】在数列中，若Sn与an关系已知，求通项用公式法，这是最基本的思路；数列是特殊的函数，因此可以用函数的思想解决数列问题，同时注意数列本身的特点，如本题中最小值的求法.,设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列 是公差为d的等差数列. (1)求数列an的通项公式(用n,d表示); (2)设c为实数,对满足m+n=3k且mn的任意正整数m,n,k,不等式Sm+SncSk都成立,求证:c的最大值为 .,【解

9、析】 (1) 是等差数列, . 又2a2=a1+a3, ,平方得3a1+a2=2 ,即 =0,a2=3a1, d= ,即 =d, ,Sn=n2d2. 当n2时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2 =(2n-1)d2, 且对n=1成立,an=(2n-1)d2.,(2)证明:由Sm+SncSk得m2+n2ck2,即c , m+n=3k, = . 2mnm2+n2(mn), , c ,c的最大值为 .,考点3 数列在实际问题中的应用,假设某市2010年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住

10、房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面（以2010年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次不大于85%（参考数据：1.0841.47， 1.0881.59 ）,【分析】（1）要求学生会把实际问题转化为数学问题：Sn=250n+ 50=25n2+225 4 750. (2)a10.85bn,bn=4001.08n-1.,【解析】（1）设中低价房的面积形成的数列为an， 由题意可知an是等差数列，其中a1=250，d=50， 则an=250+（n-1）50=50n+

11、200， Sn=250n+ 50=25n2+225n, 令25n2+225n4 750, 即n2+9n-1900,而n是正整数，n10.,到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米. （2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400，q=1.08,则 bn=400（1.08）n-1.由题意可知an0.85bn, 即50n+200400（1.08）n-10.85. 当n=5时，a50.85b5, 当n=6时，a60.85b6,满足上述不等式的最小正整数n为6. 到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于8

12、5%.,【评析】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.,某地区原有木材存量为a，且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量. （1）求an的表达式； （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于 a,如果b= a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年(取lg2=0.30)?,【解析】（1）解法一：设第一年的森林木材存量为a1,第n年后的森林木材存量为an,则 a1=a（1+ ）-b= a-b, a2= a1-b=

13、 a-（ +1）b, a3= a2-b= a- + +1b, ,(nN*).,解法二：设第n年木材存量为an，则第n-1年存量为an-1(n2)，故an=an-1(1+ )-b， 即an= an-1-b(n2), 所以an-4b= (an-1-4b)(n2), 所以an-4b组成以a1-4b为首项, 为公比的等比数列. 所以an-4b=(a1-4b)( )n-1, 即an=4b+( a-5b)( ) n-1 =( )na-4 n-1 b(nN*).,（2）当b= a时，若an5, 所以n 7.2. 答：经过8年后该地区就开始水土流失.,考点4 数列与函数不等式的综合问题,【解析】,1.用数列知

14、识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是一个解方程问题，还是解不等式问题，还是一个最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果. 2.如果是等差数列、等比数列，应明确a1,an,n,d,q,Sn这些基本量，已知哪几个，要求哪几个；如果是递推数列，应明确是Sn还是an或者是二者综合的，然后再确定要求解的量.,3.现实生活中涉及到银行利率、存款利息、企业股金、产品利润、人口增长、产值产量等问题，常常考虑用数列的知识加以解决. 4.利息=本金利率存期，如果涉及到复利问题时，常用等比数列模型解决问题；涉及到分期付款问题时，由于一般采用复利计算利息的办法，所以也要借助等比数列模型解决. 5.与几何问题有关的应用题需从问题实际出发，构建一个几何模型，结合几何性质建立模型求解.,1.解决数列综合问题应注意以下几点 对等差、等比数列的概念、性质有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差（或等比）数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决相应问题.,2.数列实