小波变换的应用简介

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1、6小波变换的应用简介,小波在信号消噪中的应用,小波分析与信号的奇异性检测,小波变换在图像处理中的应用,小波变换在电力系统谐波检测中的应用,小波在信号消噪中的应用,降噪实例,降噪原理,阈值的确定,硬阈值和软阈值去噪,降噪原理,在小波分析中，应用最广泛的无疑是信号处理和图像处 理，而在这两个领域中，应用最多的就是信号(图像)的降噪 和压缩。由于在正交小波中，正交基的选取璧传统方法更接 近实际信号本身，所以通过小波变换可以更容易地奋力出噪 声或其他我们不需要的信息，因此在这类应用中小波分析有 着传统方法无可比拟的优势。 降噪和压缩这两种应用有一个共同点在于他们都是尽量 把无用的信息从原始信号中剔除，

2、所以Matlab提供了一条通 用的命令wdencmp，同时处理降噪和压缩。,降噪准则,光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少 和原信号具有同等的光滑性； 相似性：降噪后的信号和原信号的方差估计应该是 最坏情况下的方差最小；(Minmax Estimator),降噪过程,小波分析用于降噪的过程，可细分为如下几段： (1)分解过程：选定一种小波，对信号进行N层小波 (小波包)分解； (2)作用阈值过程：对分解得到的各层系数选择一个 阈值，并对细节系数作用软阈值处理； (3)重建过程：对处理后的系数通过小波(小波包)重 建恢复原始信号。,降噪原理,基本降噪模型,假设一个信号被噪声污染后为,小波

3、变换的目的就是通过抑制,降噪原理,阈值的确定,从原始信号确定各级阈值,在小波分析用于降噪的过程中，和信号的步骤就是在 系数上作用阈值。因为阈值的选取直接影响降噪的质量， 所以人们提出了各种理论和经验的模型。但没有一种模型 时通用的，他们都有自己的使用范围。,主要有以下几个数学模型：,其中n为信号的长度，在ddencmp命令中，若使用其降噪 功能，求得的阈值就是用这个规则确定的。,缺省的阈值确定模型，阈值由如下的公式给出,阈值的确定,Birge-Massart策略所确定的阈值，阈值通过如下的 规则求得：,(1)给定一个指定的分解层数j，对j+1以及更高层所有系数保留；,降噪情况下取,(2)对第i

4、层(1ij)，保留绝对值最大的ni个系数，ni由下式确定：,的取值因用途不同而不同，,阈值的确定,压缩情况下一般取,令t*为使得函数,从原始信号确定阈值的函数有ddencmp，wbmpen， wdcbm和wdcbm2，其中自动降噪的命令wdencmp在用 于信号的时候采用的是默认的阈值。,小波包变换中的penalty阈值，阈值由下式给出：,阈值的确定,例1：,利用sym6小波对信号noisbump做5层分解。并使用用penalty阈值降噪方法、Birge-Massart阈值降噪方法以及缺省阈值降噪方法对信号进行降噪。其结果见图6-1。,使用penalty策略确定降噪的阈值 thr1 = 2.7

5、681 使用Birge-Massart策略确定降噪的阈值 thr2 =3.1312 2.6169 4.0443 9.5960 7.0858 nkeep = 1 2 3 5 11 使用缺省阈值确定阈值并用硬阈值对系数进行处理 thr = 3.7856 sorh = s keepapp = 1,阈值的确定,几种阈值降噪方法在降噪中的使用,图6-1,阈值的确定,基于样本估计的阈值选择,通过例1可以看到，除了Birge-Massart策略确定的阈 值外，其余方法的到的降噪信号太过于光滑，失去了原信 号本身的一些信息，这在以前讲述的降噪准则中，不符合 相似性原则，保留相似性的方法有很多，在数学上有一个

6、常用的标准就是在最坏情况下方差最小的约束下的样本估 计。 除了前面讲的通过舍去部分系数以外，还有一种方法 就是信号作无偏似然估计，然后根据最坏情况下降噪信号 与原信号方差最小的原则确定一个统一的阈值，然后截去 超过这个阈值的系数。,阈值的确定,最小极大方差阈值(minimaxi)：使得选取的阈值产生最小的极大方 差。 通过统 计学上估计其的构造方法得到。因为降噪后的信号可 以看成与未知回归函数的估计式相似，所以这种方法通过求得未知 回归函数与原信号在最坏情况下的最小值来获得阈值。,启发式sure阈值(heursure)：前两种方式的综合形式，因为基于sure 产生的阈值在高信号噪声比的情况下抑

7、制噪声的效果不明显，这种 方法利用启发函数自动在前两种阈值选择中选取一个；,阈值的确定,基于stein无偏似然估计(sure)的软阈值估计(rigsure)。对于给定的 阈值t，得到它的似然估计，然后将似然函数最小化，得到所需要 的阈值；,各种阈值的选取,阈值的确定,例2：,产生一个长度为1000的随机信号y，,y的SURE阈值为 thr = 2.7316；,y的对数长度阈值为 thr = 3.7169,y的启发式SURE阈值为 thr = 3.7169,y的minimaxi阈值为 thr = 2.2163,硬阈值和软阈值去噪,硬阈值和软阈值,在求得阈值以后，有两种在信号上作用阈值的方法， 一

8、种是令绝对值小于阈值的信号点的值为零，成为硬阈 值，这种方法的缺点是在某些点会产生间断。另一种软 阈值方法是在硬阈值的基础上将边界处向不连续点收缩 到零。这样可以可以有效的避免间断，使得重建信号比 较光滑。,例3：,对于定义在-1,1上的直线，定义阈值为0.4，分别作用硬阈值和软阈值，结果如图6-2所示,图6-2,硬阈值和软阈值的图形表示,硬阈值和软阈值去噪,降噪实例,Matlab中用于降噪的函数,自动对信号进行降噪，包括wden，wdencmp,对阈值进行处理的命令，包括thselect,wthrmngr,根据信号噪声强度求得阈值，包括ddencmp，wbpen，wdcmb,直接对分解系数作

9、用阈值的命令，包括wpthcoef， wthcoef， wthresh,估计噪声的命令，包括wnoisest,生成噪声的命令，包括wnoise,例4：,降噪后的ca信号在原信号的能量成分per1 = 0.9302； 降噪后的x2信号在原信号的能量成分 per2 = 0.9387； 将ca作为降噪信号，其与原信号的标准差 err1 = 48.8734； 将x2作为降噪信号，其与原信号的标准差 err2 = 32.4658。,在一个光滑的信号上加入一个高斯白噪声，使用db4小波对其作5层分解，观察信号在时间-频率域上的成分。再通过作用阈值抑制噪声信号，重建信号达到降噪的目的。 在小波分解过程中，每

10、次分解得到的系数比以前更光滑，舍去的细节信息就存在各层近似系数中。一个简单的思想就是重建第i层近似系数达到降噪的目的。此例中取第5层近似信号ca作为降噪后的信号。 但为了保持原信息的相对完整可以有选择地抑制各层的细节系数，通过抑制后的系数重建信号x2作为降噪信号，达到降噪的目的。见图6-3。,降噪实例,通过抑制细节系数实现降噪,例4：通过抑制细节系数实现降噪,图6-3,降噪实例,由此例可看出，使用单纯抑制细节系数的方式(因为求重 建近似信号等于将所有细节的系数抑制到0)，确实可以实现 消除信号噪声的目的，但这种方式过于粗略，因为这样做没 有利用到噪声本身的信息，没有通过噪声本身来确定降噪的 方

11、法，所以作为衡量相似性的标准差仍然很大，而且降噪后 的信号损失了很多原信号的能量成分(6%左右)，这就说明在 降噪的过程中，不光抑制了噪声，也抑制了很多有用的信息 成分。,在小波域中的细节系数若映射到Fourier分析中的频域，则代表高频系数，如果只对高频系数进新抑制，同样可以达到降噪的效果。,降噪实例,通过FFT实现信号降噪的具体流程如下：,这个过程其实相当于对原信号在一定范围内作滤波， 还原到时域相当于对信号进行卷积运算。,(1)对原始信号进行Fourier变换，求出其频谱。 (2)根据频谱，对比我们所关心的频谱成分，对不需要的频谱 成分进行抑制。 (3)对变换后的频谱作Fourier逆变

12、换，得到降噪后的信号。,降噪实例,例5：,对信号noisdopp 作Fourier变换，画出其频谱图，结果见图6-4。 由图可见，信号的能量主要集中在低频部分，在20Hz以后迅速衰减 到零，50Hz以后几乎就没有能量了。,降噪实例,通过FFT实现信号降噪,从而可以做一个简单的低通滤波。使用宽度分别为10、30和50 的滤波器对频谱进行滤波，抑制频谱直接令其为零，然后对经过滤 波的频谱做Fourier变换，得到相应的降噪信号xd1、xd2与xd3，其 图形见图6-5。,例5：通过FFT实现信号降噪,图6-4,降噪实例,例5：通过FFT实现信号降噪,图6-5,降噪实例,例5：通过FFT实现信号降噪

13、,降噪信号xd1、xd2与xd3的能量比例分别为： per1=norm(xd1)/norm(x)=0.8710 per2=norm(xd2)/norm(x)=0.9390 per3=norm(xd3)/norm(x)= 0.9542 各个降噪信号与原信号的标准差分别为： err1=norm(xd1-x)=62.6615 err2=norm(xd2-x)= 43.3881 err3=norm(xd3-x)= 36.8576,在这个例子中，信号noisdopp的初始发展阶段的振荡频率很高，我们认为是系统自身的特性，但对于低通滤波器，这些成分被过滤掉了。所以单纯对频域的滤波有“一刀切”的缺陷，也就是

14、把带通之外的频谱不加区分的滤掉。,降噪实例,比较例4与例5可以看出，Fourier变换只能在频域范围内 表述，那么对系数进行处理的方法也相对单一，而小波分解 之后可以在各个层次选择阈值，对噪声成分进行抑制，手段 更加灵活。 还有一点值得注意的是，使用小波变换进行噪声抑制时， 降噪结果的能量比(93.87%)虽然没有使用FFT滤波器的结果 (95.42%)高，但是保持了更高的与原信号的相似程度。这一 点从降噪信号与原信号的标准差可以看出。小波变换中，对 细节系数进行抑制后的滤波结果与原信号的标准差为32.4685， 比FFT的结果36.8576还小。而且这种整体缩减抑制细节系数 的方法还不是最好

15、的降噪方法。这个例子很客观地说明了多 分辨分析在做变换的时对时间和频率的兼顾，以及它同传统 频域方法无可比拟的优势。,降噪实例,以上两例讨论了在小波域和频域对信号进行抑制的方 法，并将两种方法得到的降噪结果进行了比较。但是严格 地讲，这些都不能很好的符合降噪的两个基本要求光 滑性和相似性。阈值控制的方法在理论上指出了一种在小 波域对系数进行操作，使得降噪信号最大程度满足这两个 要求的方法，就是所谓的“小波收缩”的方法，其原理就是 根据方差最小的原则通过对系数的无偏似然估计确定阈值 的方法，这也是Matlab小波工具箱中用于信号降噪的缺省 方法。,降噪实例,例6：,仍以信号noisdopp为例，

16、利用基于stein无偏似然估 计的方法，通过工具箱中自动获取对信号进行降噪的命 令wdencmp来进一步说明小波变换在信号降噪中的应用， 其中阈值的选取可通过两种方式：全局阈值和分层阈值。 为了便于和以前的例子对比，这次选择与db4相似，且对 称性更好的sym4小波对信号作4层分解 。,降噪实例,Matlab缺省的降噪命令,原信号和降噪后的信号的图形见图6-6。,例6：Matlab缺省的降噪命令,图6-6,降噪实例,例6：Matlab缺省的降噪命令,由此可见，全局阈值和分层阈值方法降噪后的信号都很好的保留了信号发展初期的高频特性，且性能参数由于以前的抑制细节系数的策略和FFT方法。在这两者之间，分层阈值虽然损失了部分的性能（与原信号的相似性），但比全局阈值的结果光滑很多。而且信号发展初期的高频系数几乎不受影响，最大限度地反映了原信号本身的特性。,降噪信号的能量成分以及其与原信号的标准差分别为： 全局阈值降噪后信号的能量成分per1=0.9774 分层