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1、1,内容提要 分析和设计数字逻辑的重要数学工具逻辑代数的基本概念、公式和定理。 逻辑函数的几种表示方法（真值表、函数表达式、逻辑图和卡诺图）及其相互转换。 逻辑函数的两种化简方法公式化简法和图形化简法。 Multisim10电路仿真软件的用法。,数字电子技术基础实用教程,双 语 对 照,与 and 或 or 非 not 与非 nand 或非 nor 与或非 and-or-invert 异或 exclusive-or 同或 exclusive-nor,真值表 truth table 函数式 functional expression 最小项 miniterm 波形图 timing diagram
2、 化简 simplification 卡诺图 karnaugh map 无关最小项 dont care minterm,双 语 对 照,2.1 逻辑代数的基本运算和复合运算,数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数 Boolean algebra ）,逻辑变量：描述事物两种对立的逻辑状态的变量。只有两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。,2.1.1逻辑变量与逻辑函数,0和1表示两个对立的逻辑状态。,例如：电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。,逻辑函数： 以逻辑变量为输入，运算结果作为输出，若输入变量
3、的值确定后，输出的值也随之确定，这种函数关系。,逻辑函数与普通函数一样，可以用字母来表示：,无论变量还是函数，其取值只有两种：0或1,基本逻辑运算：与 ( and )、或 (or ) 非 ( not ),2.1.2基本逻辑运算,1、“与”逻辑,与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）,规定: 开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“0”,逻辑符号：,A,Y,B,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,逻辑式：Y=AB,逻辑乘法 逻辑与,真值表,真值表特点: 有0 出0, 全1出1,与逻辑运算规则：,0 0=0 0 1=0 1 0
4、=0 1 1=1,2、 “或”逻辑,或逻辑：决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。,规定: 开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“0”,真值表,逻辑符号：,逻辑式：Y=A+B+C,逻辑加法 逻辑或,真值表特点： 有1 出1, 全0出0。,或逻辑运算规则:,0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1,3、 “非”逻辑,“非”逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件反而不发生。,规定: 开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“0”,逻辑符号：,逻辑非 逻辑反,
5、真值表特点: 1出0, 0出1。,逻辑式：,运算规则：,2.1.3复合逻辑运算,“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。,与非(nand)： 条件A、B、C都具备，则F 不发生。,其他几种常用的逻辑关系如下表：,与非真值表特点: 有0 出1, 全1出0。,真值表,或非(nor)：条件A、B、C任一具备，则F 不发生。,异或(exclusive-or )：条件A、B有一个具备，另一个不具备则F 发生。,同或(exclusive-nor )：条件A、B相同，则F 发生。,基本逻辑关系小结,表2.1.6与或非逻辑真值表,逻辑符号,2.2 逻辑代数的基本公
6、式和常用公式,2.2.1 基本公式,2.2.2常用公式,2.3逻辑代数的基本运算规则,2.3.1 代入规则： 任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则等式依然成立。这一规则称为代入规则。,运算顺序：1.（） 2.（与）乘 3.（或）加,代替等式两边的A，等式仍然成立，即,若用,例如：,还可以推广到n个变量,或,用处：扩大定理的应用范围,【例2.3.1】已知等式（C）C，试证明将所有出现C的地方用（DE）代入后，等式仍然成立。 证明： 左边（DE）（DE）DE 右边（DE）DE 所以，左边右边,2.3.2 反演规则：将函数式 F 中所有的,变量及常数均取
7、反,（求反运算）,互补运算,1.运算顺序：先括号 再乘法 后加法,2.多个变量上的反号先不动,注意:,用处：实现互补运算（求反运算）,新表达式：F,显然：,(变换时，原函数运算的先后顺序不变),【例2.3.3】 求函数 的反函数。,解：根据反演规则可以写出结果为,例1：,与或式,注意 括号,（求反）,或,例2：,与或式,反号不动,（求反）,或,2.3.3 对偶规则：,新表达式：F（对偶表达式）,注意:,1、变换时，原函数运算的先后顺序不变,运算顺序：先括号 再乘法 后加法,2.如果两个逻辑表达式 F=G，则它们的对偶表达式也相等，即 F = G,用处：减少需证明的公式。,将函数式 F 中所有的
8、,【例2.3.4】 证明恒等式A+BC=（A+B）（A+C）,解：根据对偶规则， A+BC的对偶式为:A（B+C）=AB+AC （A+B）（A+C）的对偶式为AB+AC 因对偶式相同，故A+BC与（A+B）（A+C）相等。,例：求对偶表达式,2.4 逻辑函数的表示法,1. 真值表 2. 函数表达式 3. 逻辑图 4. 卡诺图 5. 波形图,【例2.4.1】个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑函数。 解：1. 逻辑抽象，确定输入、输出逻辑变量。 3人意见为输入逻辑变量：， 表决结果为输出逻辑变量，Y。 2. 状态赋值:，:同意为，不同意为 Y:通过为，没通过为。 3.
9、 根据题意及上述规定列出函数关系式。 结果Y通过的条件： A和B同意：AB B和C同意：BC A和C同意：AC A、B和C都同意：ABC 则结果Y可能通过的逻辑表达式为： Y（A,B,C）=AB+BC+AC+ABC,2.4 逻辑函数的表示法,5种表示方法,2.逻辑代数式(logic expression ):,3.逻辑电路图:logic circuit,4.卡诺图(karnaugh map ),1.真值表(truth table )：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。,5. 波形图,将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。 n个变量可以有2n
10、个输入状态。,2.1.1真值表描述,列真值表的方法：一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。,例如：,将真值表中函数值 为1的项相加，得到 逻辑函数“与或式”,变量赋值为1时用该变量表示；变量赋值为0时用该变量的反来表示。,【例2.4.2】个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试画出该逻辑函数的真值表。 结果，3人表决少数服从多数的真值表如下：,2.4.2逻辑函数式(functional expression),把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。,例：,1.一般式 2.最简式 3. 标准式
11、,Y（A,B,C）=AB+BC+AC+ABC,1.最简式描述 特点：用最简式实现电路可以用较少的元器件来实现，元器件间的连线最少，达到简化电路、节省器件、便于维修调试、降低生产成本的效果。 最简式描述包括： 最简-与或式 最简-或与式 最简-与非-与非式 最简-与或非式 最简-或非-或非式,1）最简与或式，它要求： （1）式中所含的与项最少； （2）各与项中所含的变量数最少。 例如，,2）最简或与式，它要求： （1）式中所含的或项最少； （2）各或项中所含的变量最少。 例如，,3）最简与非-与非式 最简与非-与非式由最简的与或式变换而来，它要求： （1）式中所含的与非项最少； （2）各与非项中
12、所含的变量数最少。 例如，,4）最简与或非式，它要求： （1）式中所含的与项最少； （2）各与项中所含的变量数最少。 如果得到该函数的反函数的最简与或式，经过变换就可以得到该函数的最简与或非式。例如，,5）最简或非-或非式，它要求： （1）式中所含的或非项最少； （2）各或非项中所含的变量数最少。 由最简与或非式，变换可得。例如，,2、最小项 (miniterm) 和标准与或表达式,1）最小项定义：设有n个逻辑变量，由它们组 成具有n个变量的与项中，每个变量以原变量 或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称 这个与项为最小项。对于n个变量来说，可有 2n个最小项；,以三变量为例：ABC为三个变
13、量，n=3, 23=8，所 以有8个最小项：,（1）在输入变量的任何一组取值下，必有一个且仅一个最小项的值为1，其余最小项的值均为0； （2）全部最小项之和为1； （3）任何两个不同的最小项的乘积为0。 （4）具有相邻性的2个最小项之和可以合并为一项，合并后的结果中只保留这两项公共因子。,最小项的性质：,将最小项为1时各输入变量的取值转换成二进制数，与它等值的十进制数i作为最小项的编号，并把最小项记作mi,i=0(2n-1)；,之所以称之为最小项，是因为该项已包含了所有的输入变量，不可能再分解。,例如：对于三变量的逻辑函数，如果某一项的变量数少于3个，则该项可继续分解；若变量数等于3个，则该项
14、不能继续分解。,任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式，即标准与或表达式。,例1：将以下逻辑函数转换成最小项表达式：,解：,从真值表写出的与或表达式就是标准与或表达式,2)标准与或表达式：每个与项都是最小项的与或表达式，称为标准与或表达式。,3）从真值表求标准与或式 （1）找出使逻辑函数Y为1的变量取值组合； （2）写出使函数Y为1的变量取值组合对应的最小项； （3）将这些最小项相或，即得到标准与或表达式。,4）从逻辑函数表达式求标准与或式 （1）检查表达式的每一个乘积项是否含有逻辑函数中所有的变量。 （2）利用公式弥补乘积项中缺少的变量，然后展开化成最小项之和的形
15、式。,解：,例2 ：将下列逻辑函数转换成最小项表达式：,=m7+m6+m3+m5=m（3,5,6,7）,2.4.3 逻辑图描述,逻辑图：把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了逻辑图。,F=AB+CD,2.4.4卡诺图描述,1.卡诺图的构成,在具有n个变量的逻辑函数中，可以有2n个最小项，其中有些最小项之间只有一个因子不同，这些最小项叫做逻辑相邻的最小项。,将个变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项放在几何相邻的位置上排列起来，所得到的图形叫做变量的卡诺图。,逻辑函数的卡诺图表示,1）首先把逻辑函数化为最小项之和的形式； 2）然后在卡诺图上与这些最小项对应的位
16、置填入，其余位置上填入。 即：任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入的那些最小项之和。,例：作出下列函数的卡诺图,通过配项法将Y写成标准与或表达式，即最小项形式。,真值表、卡诺图逻辑代数式,方法：将真值表或卡诺图中为1的项相加，写成 “与或式”。,2.4.5波形图描述,针对输入量的变化波形，根据输入变量和输出变量之间的逻辑关系，画出输出逻辑函数相应变化的波形叫逻辑函数的波形图(timing diagram)表示。 波形图的特点是可以通过逻辑分析仪直接显示，便于用实验的方法分析数字电路的逻辑功能。,【例2.4.3】已知逻辑函数 ，输入变量A、B、C波形图形如图2.4.4所示，试按照逻辑关系画出输出L的波形。,（1）并项
