《数列求和的基本方法与技巧》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列求和的基本方法与技巧（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1数列求和的基本方法与技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧。一、公式求和法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、 等差数列求和公式： dnanSn2)1(2)(112、等比数列求和公式： )()(11 qqannn3、 123.()2nkS1.(21)6nk nn333 21.(.()kS 练习： （注意：等比数列，共有 n+1 项）2._n （注意：等差数列，共有 项）
2、n已知 ，2.nna10则 数 列 的 前 项 和 为数列 7，77，777，7777,，的一个通项公式为_例 1、 求和： nxx32解：当 x=0 时， ,0nS当 x=1 时，当 x 0,且 x 1 时， .xxSnnn1例 2、 已知 ，求 。3logl23k1解：由 2logl33xxx由等比数列求和公式得 nkxS1 nnn121)()(练习：设 ，求 的最大值.23.,nN1()32)nSf2二、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例 3、求和: nyxyx112 1,0yx解
3、:原式= nx32 n2= yxnn11= nnx1注意：若条件中未给出参数的条件，则应对 x=0,x=1,y=1 进行讨论。例 4、已知 ，求12345.().nnS设 1730512ss分析：注意 16解： 73058(1)7()5()4ss例 5、 求数列的前 项和：n21,4,.32,.naa解：设 )()()()S211( 7n当 时， a)3(n2)1(n当 时， 1)(1aSn)3(1an例 6 求数列 的前 项和。)2(解：设 kkak 23 nkS1)1( )(3nk将其每一项拆开再重新组合得 nknknk121312)21()(3)( 22 nn()232)(1n三、裂项求
4、和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解为的形式，然后相互抵消，最终达到求和的目的。通常有以下情形：(1)(naff（1） 1n（2） ()()221n n（3） 1(a（4） nn例 7、求和： 1321分析：由 = =nna1n解：原式= 1321= =n例 9、 求数列 的前 项和。11,.,.23nn解：设 na则 1321nS )()()( n例 9、在数列 中， ，又 ，求数列 的前 项a11n12nnabnb的和.解： 22nn )1(8b 数列 的前 项和n4)1()413()21()(8 nSn 8n 1四、错位相减求和法例 10
5、、求和： n24231分析：原式等价于 nn2121131 其中 ，象这种通项公式由等差与等比的积组成的数列（混合积数列）的前 n 项和，联.nna系课本中等比数列前 n 项和公式的推导过程，可采用错位相减法求得.解：令 nS 12311422nn 24 1n 得： 231nn nS2121nn2n3练习：求和： （注意分类讨论）2nxx求和： （注意分类讨论）132)2(751nn xS例 11、求和： .03aa解：当 a=1 时， n 2当 a 1 时， 23157.2nS n 2naaa得： 211nn51122nnaaSnn2五、对称项求和法（高斯法）这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是找到数列各项相应的对称项，两两结合相加。有时可将原数列反序排列后再与原数列相加，称为反序相加法。例 12、 已知 ，求1()fx112(3).(208)()(.()23208fffff分析： 1() xfxx解：原式 11(1)(2)(3).(208)()fffff.081208（ 个 相 加 ）
