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1、JIU JIANG UNIVERSITY毕 业 论 文 （ 设 计 ）题 目 幂 等 矩 阵 的 性 质 及 应 用英文题目 Properties and Application of Idempotent Matrix 院 系 理学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 邱望华 年 级 A0411 指导教师 王侃民 二零零八年 五月摘 要幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然
2、后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。关键词 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合AbstractThe idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary
3、some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equi
4、valence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、 the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices. Key Words the idemp
5、otent, the nature, the idempotence,linear combination 符号表实数域R实数域 n 维列向量空间n实数域上的 nn 阶矩阵复数域C复数域 n 维列向量空间n复数域上的 nn 阶矩阵矩阵 A 的转置A矩阵 A 的伴随*矩阵 A 的逆1矩阵 A 的行列式det()A矩阵 A 的秩rank矩阵 A 的核空间，即()N0,nAxP是 一 个 数 域矩阵 A 的值域，即()R (),nRAxP是 一 个 数 域线性空间 V 的维数dimV线性变换 的逆变换1T T的值域,即 = V的核,即1(0) 1(0),目 录第一章 预备知识 .11.1 幂等矩阵的
6、概念及刻划 .11.2 幂等矩阵的一些简单性质 .3第二章 相关的重要结论 .72.1 幂等矩阵的等价条件 .72.2 幂等变换 .142.3 幂等矩阵线性组合的幂等性 .172.4 幂等矩阵线性组合的可逆性 .232.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质 .26结 束 语 .29参考文献 .30第一章 预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义 1 .对 n 阶方阵 ,若 ,则称 为幂等矩阵.A2A为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题 1.若 是幂等矩阵,则与 相似的任意矩阵是幂等矩阵.证明：若 相似于 (记作 ),则有同阶可逆矩阵 ,使 = ,ABAPB
7、1pAP从而= = = = . 21pP11p21A命题 2.若 是对角分块矩阵，设 = ，AA2rA则 是幂等矩阵 均是幂等矩阵.i(1,)r由于每个 n 级复数域矩阵 都与一个若尔当矩阵相似 ，据命题 1 和命题 2A1知，我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若 是一个 2 阶复数域矩阵,则 的若尔当标准型有两种可能的形式:A第一种: ,但它不是幂等矩阵.否则有 = ,有10210.矛盾.,2第二种: ,由 ,有 ,从而有020221,或 1, 或 1.于是该情况有四种可能的形式 : ,2 0 , , 1010(1)据命题 1,于是得到:定理 1 . 是二阶幂等矩阵,则 是零矩阵或单位矩阵或形
8、如 .9AA1abc证明: 由以上讨论知 相似于(1)式中的四个矩阵之一若 ,显然有 =0100若 ,显然有 =02A1A10若 ,则有可逆矩阵 = ，030P12341423(,P)因 为 可 逆使=A1412234314120 abPcd 则有 .即 .1da1abc对剩余的一种与此有同样的结果. 设 ，由 ，有 这是不可能12,nJ 2nJ2,1,的.于是有:命题 3.当 时, 阶若尔当块 不具有幂等性.即 .2nnJ2nJ因此,若 是幂等矩阵，则 的若尔当标准型如下：AA120nrJ 据命题 1 即有.2nJ2,1,ii于是 或 1.0i于是我们得到如下定理:定理 2. 是 阶幂等矩阵
9、，当且仅当存在 阶可逆矩阵 ，使AnnP得 .其中 是主对角线上元素为 0 或 1 的对角矩阵. 1PJ1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质 1.方阵零矩阵和单位矩阵 是幂等矩阵.E性质 2.方阵 是幂等矩阵，且 可逆，则 .AAE因为 ,则 . 2121据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即 (如果存在的话)是幂等1A矩阵.因为 .1E性质 3.若 是实幂等矩阵，则 都是幂等矩阵.A*,AE证明: 对 , .2()对 ,有E.22()AEAE对 ,先证明对任意两个幂等矩阵 ,有关系式* B.*2()由 公式有:Cauchybinet*(,)AijABBij矩 阵 的 第 行 第 列 代
10、数 余 子 式=(1)det()1,1,1,)ijABjnin = 1t,nijkjk det(),1,1,)knin = *(,)11.nnjkikijijABBA于是，. *2*2()()性质 4.若 是复数域上的幂等矩阵,则 也是幂等矩阵.A,AE证明:.22()(). EAEA性质 5.若 是幂等矩阵,则 的特征值只能是 1 或 0.即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由 知 ( ) . 22是 的 特 征 值 0或由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵. 性质 6.若 是幂等矩阵,设 是 的最小多项式,A()A则 = 从而 可对角化,且其若尔当标准型为()1或 或 （ -）.0rE其中 是 阶单
11、位矩阵, 是 的秩.rErA证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式,据性质 5 知= .()1或 或 （ -）又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. 性质 7 .若 是幂等矩阵，则 ，其中1A()NARE()0nNAxC.(),nREEAyC证明：由 有 ，立即知20的 阶列向量都是 的解nX故有 ()(REAN又对 ,有 )a0()()aaEA()aREA由 的任意性知 . ()NAR于是有 . )同样地,有结论 .(E性质 8.若 是幂等矩阵,对任意实数 ,则 是可逆矩阵.A(01)aAaE证明:由 有22(1)()E.(1AaaE又由 有0,1a1()(1)()aEAa故 可逆,且 . AaE1()()AE性质 9.任一秩为 的 幂等矩阵 可分解成 ,其中 是秩为 的rnACBr矩阵,且 .(其中 是 阶单位矩阵)nrrBCrE证明:由性质 6 知,存在 阶可逆矩阵 使P
