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1、理想中心势场一般态演化的近似研究读书笔记一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的 Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和 Schrdinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从 Dirac 算子代数中求解出 的本征态即谐振子的相干态，a并由降算符 与升算符 、光子数 与相位 的最小不确定关系得出相干态和an压缩态。从 Dirac 算子代数中求解出
2、 的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a与升算符 、光子数 与相位 的最小不确定关系得出相干态和压缩态。an与空间有关的一维定态 Schrdinger 方程为： )()()()(22 xExVdx （2.1）在量子力学中，如不作特别说明，都假定势能 V 取实数，即 V=V *。若对应于某个能量 E，方程（2.1）只有一个解，则称能级 E 不简并。若对应于某个能量 E，方程（2.1）不只一个解，则称能级 E 是简并的。设 是方程（2.1）的一个解，对应的能量本征值为 E，则 也是方程（2.1）的一个解，对应的能量本征值也是 E。且总可以找到方程（2.1）的一组实解，凡是属于 E 的任何解，均可表
3、成这组实解的线性叠加。2.1 求解波函数采用自然单位 ，则1(15)(212pxH因此 H 具有相空中的旋转不变性，令(16a)(21)( xdixa)(x )(*x (16b)(21)(21 xdpixa利用 ，容易得ipx,(17)1,pxa对 H 进行因式分解(18)21)()(2 Naxdx式中(19)aN则 ， =0 HN(20)因为(21)02aN(22)Na)(所以 为正定 Hermite 算符， 亦为正定 Hermite 算符 H设(23)nNn 为正数， 表示 的一个本征态，由(17)(18)式得(24a)a,(24b)N(25a)nanNan)1(),(25b)a因此可知，
4、若 为 的本征态，且本征值为 n，则 与 也是 的本征 naN态，且本征值为 n-1，n+1。由(25a)式可知 是 的本征态，从 的某个本征态 出发，逐次用降naNn算符 运算可得 的一系列本征态，a， ， ， (26)n2an相应的本征值为n， n-1， n-2， (27)因为 为正定 Hermite 算符，它的所有本征值必须 。设 的最小本征值为N 0N，本征态为 。故它的必须满足0n0n(28)a由此可得(29)00nN即 是 的本征值，对应本征值为 =0，因此 可记为 。0n0n0n由(25b)式可知， 也是 的本征态，从 的最小本征值 =0 对应的aN0n本征态 出发，逐次运用算符
5、 可得 的全部本征态， ， ， 002)(a(30)相应本征值为0， 1， 2， (31)可以得 的归一化本征态N(32)0)(!1nan它是 的本征态H0nEH(33)， n=0，1，2 2nE(34)添上能量单位， ， n=0，1，2. )21(nE(35)2.2 求解波函数由(28)式 =0 即 得，a00)(21px， (36)(210xd解得 200)(xeN(37)由归一化条件 得，1)(2dxn(38)20N由(32)式得 ，即)(!1nan= (39)(!)(0xxnn 221)()!xnnedx令 ，则(36)式可写成: = 221)()!() xnnn ed(40)2)(e
6、HNn= (41)nN21)!(n(42)22)()(edeHnn易得 = ， 即 n 的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性。)(xn1xn2.3 Hermite 多项式的递推关系(43)1)(21 nxdna(44)( 因此(45)212)()()(21 eHNneHNdnn(46)212)()()( nn由(45)(46)两式得(47)1221nn即 2121 )()()( eHNeHNeHN nnn=得2121 )()(21 enenn(48)11nnHH由(43)得=2)()(2eNdn 2)(eHNdn= 21)(en(49)而nN21(50)由(49)(50)两式得 (51)(2)(1
7、nnHd线性谐振子弹簧振动、单摆是谐振子，它们的位移或角位移满足方程： 谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。1 一维谐振子的定态本征问题1.1 经典模型经典力学中，简谐振动是物体在线性回复力 f = kx 作用下进行的一种运动，其位移与时间的关系可以表示为tAxcos取平衡位置为坐标原点，并且作为势能零点，系统的势能可以表示为(1.1) 221xkxU其中 k 是谐振子的劲度系数， 为谐振子的质量， 是振动角频率。以k此为基础，简谐振子的能量可表示为. (1.2) AkE2211.2 量子模型在量子力学中，
8、作为一个重要的物理模型，一维谐振子问题是许多周期性运动的代表。原子分子的振动、黑体辐射、晶格振动以及量子场论中的场量子化等都可以借用谐振子这一物理模型来处理。这里，我们简单回顾一下量子谐振子模型的相关理论。02x一维谐振子的定态薛定谔方程可以表示为(1.3)rErU2将一维谐振子的势能(1.1)式代入定态薛定谔方程(1.3)中，可以得到022xEdx(1.4)令 E2(1.5)并且作一个变量代换，令(1.6) 方程(1.4)可变为(1.7) 022d式(1.7)一个变系数二级常微分方程。当 很大时， 与 2相比可以略去，因而在 时该式可写为2d（1.8）它的解 2e上式即方程(1.7)的渐近解
9、。因为波函数的标准条件要求当 时 应为有限，所以我们对波函数只取指数上的负号，即 21e根据上面的讨论，可以把 写成如下形式He2（1.9）式中的待求函数 H 在 有限时应为有限，而当 时，H 的行为必 须保证 为有限，因为只有这样才能满足波函数的标准条件。式(1.9)对 求二阶微商有2edHd222ed将上式代入(1.7)后，可得到 H 满足的方程为012d（1.10）采用级数解法，把 H 展成 的幂级数来求方程的解时，这个级数必须含有限项，才能在 时使 为有限，而级数只含有限项的条件是 为奇数，即n=0,1,2,12nE由此可求得一维谐振子的能量本征值 En，即其量子化能级为 n=0,1,
10、2 21nE（1.11）这表示一维谐振子的能量只能取一系列分立值，并且相邻能级间距相等，均为。对于（1.11）式中不同的 n 值，方程（1.10）有不同的解 。这里的nH称为厄密（Hermit Ian）多项式,可以表示为nH221edHnnn（1.12）此外，由（1.9）式可得，对应能量的相应波函数是nnnHeN2（1.13）式中 是归一化常数，它由归一化条件nN1*dn可确定为21!nNn一个量子系统，若其哈密顿量可标记为 ，则该系统的演化算符可用H表示。这里，哈密顿量算符出现在指数上，因此演化算符无法直接作用在Htie相应的初态上，为利用这个演化算符考虑某态随时间的演化，我们采取两套方案进
11、行讨论。用 Fourier 变换求一维线谐振子的波函数和能量本征值用 Fourier 变换把一维线谐振子的薛定谔方程化为比较容易求解的一阶微分方程，解出一阶微分方程后再利用 Fourier 逆变换得到薛定谔方程的级数解，最后利用波函数在无限远处等于 0 的边条件确定能量本征值和本征函数以一维谐振子为研究对象,讨论了一维谐振子初态随时间的演化问题,采用了常用的精确求解法并发展了近似求解法。最后对两种方法所得结果进行分析比较,得到其结果一致的结论,从而为确定的哈密顿量系统的态演化问题提供了一套理论处理方案。 一维谐振子不仅是经典物理的重要模型，而且也是量子物理的重要模型，在理论上及实际应用中，它往往能使复杂的问题大大地简化。目前对于一维谐振子的运动规律的研究已有很多，最近的一些重要实验，如激光束冷却原子实验、用电场或磁场实现原子的控制、粒子在 Paul 阱中的运动以及在法布里-珀罗腔中的量子化电磁场等，这些系统的哈密顿量与量子谐振子相同，所以谐振子再度成为人们感兴趣的问题。目前，李代数方法、含时幺正变换和 LR 不变量理论等被用来求解含时量子谐振子。本文利用数学上泰勒（Taylor）展开取合适近似项的方法进行处理,对一维谐振子态随时间的演化进行研究，并进行相关讨论，以得到相应的结论。同时深刻领悟这一在量子力学和固体物理学中常用的数学方法。
