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1、1.3正方形的性质与判定第1课时【教学目标】了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性 质定理.【教学重难点】重点:探索正方形的性质定理.难点:掌握正方形的性质的应用方法，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容.【教学过程】一、探究导入【显示投影片】显示内容:展示生活中有关正方形的图片，幻灯片 (多幅).【活动方略】教师活动:操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题:1.同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？正方形具有哪些性质呢？学生活动:观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片.进行联想.易知：1.正方形四条边都相等（
2、小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过).实验活动：教师拿出矩形按左图折叠.然后展开，让学生发现:只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90，这样的特殊菱形也是 正方形.教师活动:组织学生联想正方形还具有哪些性质,板书画出一个正方形，如下图:学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：正方形定义:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形性质：（1)边的性质:对边平行，四条边都相等.（2)角的性质：四个角都是直角.（3)对角线的性质:
3、两条对角线互相垂直平分且相 等，每条对角线平分一组对角.(4)对称性:是轴对称图形，有四条对称轴.【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点.二、探究新知【课堂演练】(投影显示）演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于0，MN/AB，且分别与OA、 OB相交于M、N.求证：（1)BM=CN； (2)BMCN.分析：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在BOM与CON是否全等.（2） 在（1)的基础上完成，欲证BMCN.只需证5 + CMG= 90就可以了.【活动方略】教师活动:操作投影仪.组织学生演练，巡视，关注 “学困生
4、”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流.学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题.证明：（1) 四边形ABCD是正方形，COB=BOM= 90， OC=OB.MN/AB，1=2, ABO= 3，又1= ABO= 45， 2=3，OM =ON，CONBOM，BM=CN.(2)由（1)知BOM CON,4= 5，4+BMO=90，5+BMC=90 , CGM=90, BMCN.演练题2:如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE= AD，F为AB的中点，求证: CEF是直角三角形.分析：本题要证EFC= 90，从已知条件分析可以得到只要利用勾股定理逆定理，就可以解决问
5、题.这 里应用到正方形性质.【活动方略】教师活动:用投影仪显示演练题2,组织学生应用正方形和勾股定理逆定理分析，并请同学上讲台分析思路，板演.学生活动:先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题.证明：设AB = 4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB = 2a，AE=a，DE=3a.B=A=D=90，由勾股定理得：EF2 +CF2= (AE2 +AF2) + (CB2 +BF2)= (a2 + 4a2) + (16a2+4a2)=25a2，CE2=CD2+DE2= (4a)2 + (3a)2=25a2，EF2 +CF2=CE2.由勾股定理的逆定理可知CEF是直角三
6、角形. 【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练 题，提高学生的应用能力.三、范例点击例：已知：如图，四边形ABCD是正方形，矩形 PECF的顶点P在正方形ABCD的对角线BD上,E在BC上，F 在 CD 上，连接 AC、AP、PC、EF，若EC= 4，CF=3,求 PA的长.分析：本题运用矩形对角线相等的性质可得EF=PC，运用正方形的性质可得AP=PC，进而可得AP=EF.因此，只要求出EF的值即可.解：四边形PECF是矩形，PC=EF.在 RtEFC中，EC=4，CF=3, EF=PC=5. 四边形ABCD是正方形， BDAC且BD平分AC，即BD是AC的垂直平分线. 点P在BD 上
7、，PA=PC=5.【方法归纳】与矩形对角线有关的计算问题，主要运用矩形的对角线相等和正方形的对角线的性质，借助第三条线段作“媒介”求线段的长.四、巩固练习教材P21随堂练习五、课堂小结本节课应掌握：正方形的概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形的性质正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形.六、布置作业教材P22习题1.7第1、2、3题第2课时【教学目标】 1.知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.2.经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步
8、的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.3.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.【教学重难点】重点:掌握正方形的判定条件.难点:合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算. 【教学过程】、创设情境，引入新课我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中.通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.1.怎样判断一个四边形是平行四边形？2.怎样判断一个四边形是矩形？3.怎样判断一个四边形是
9、菱形？4.怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？议一议:你有什么方法判定一个四边形是正方形？二、探究新知1.探索正方形的判定条件：学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是 菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩 形，那么这个四边形是正方形.后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定
10、理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可写成:有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩 形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断.2.正方形判定条件的应用例1:判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由.（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是
11、正方形；（4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.师生共析：是真命题，因为四条边相等的四边形是菱形， 又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.真命题,由四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是既是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.(3)假命题，对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形. 如下图，满足AO=CO，BO=DO且ACBD但四边形ABCD不是正方形.（4）假命题，它可能是任意四
12、边形.如上图，ACBD 且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形.（5）真命题.方法一:对角线互相平分的四边形是平行四边形， 对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真.方法三：由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形.总结:通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用.例2:如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、 CD 上，且AFE= 45，试说明EF=BE+DF.师生共析:要证EF=BE+DF,如果能将
13、DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后就能证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决.像这种在EB上补上DF或在FD上补上BE的方法叫做补短法.解:将ADF旋转到ABC，则ADFABG AF=AG，ADF=ABG,DF=BG，EAF= 45且四边形是正方形，ADF + BAE=45,GAB + BAE=45,即GAE=45， AEFAEG(SAS)，EF=EG=EB+BG=EB+DF.讨论:你能从一张彩色纸中剪出一个正方形吗? 说出你的做法.你怎么检验它是一个正方形呢？小组讨论一下.三、范例点击例3:如图，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等
14、边三角形.求证：四边形ABCD是菱形；若AED = 2EAD，求证：四边形ABCD是正方形.分析:由已知可得BE垂直平分AC,进而可得AB=BC，再用菱形定义可判定.（2)由菱形性质可得DAC =BAC，由已知得AED=30，EAO=60，DAE= 15，DAO=45，从而得出BAD=90，问题得解.证明：（1) 四边形ABCD为平行四边形，OA=OC.又ACE是等边三角形，EOAC，即 BDAC，AB=BC，平行四边形ABCD是菱形.ACE为等边三角形，AEO= OEC= 30 , EAC= 60.AED=2EAD，EAD =15，DAO= 45.又四边形ABCD是菱形，DAO=BAO=45，DAB = 90，菱形 ABCD为正方形.四、巩固练习教材P24随堂练习通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用.五、课堂小结本节课应掌握：正方形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后， 由教师板书）对角线相等的菱形是正方形.对角线垂直的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形.六、布置作业教材P25习题1.8第1、3题.
