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1、电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系1编号： 班级： 学号： 姓名： 成绩： 第 1 章 静电场1. 证明均匀介质内部的极化电荷体密度 ，总等于自由电荷体密度 的pf（1 ）倍。0 fDE)(E)(P00e f1电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系22. 有一内外半径分别为 的空心介质球，介质的介电常数为 ，使介质21和r 内均匀带静止自由电荷 ，求f（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。解 1）由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向故： 时1r或 042dVrf)E( 0)E(r时 球壳体内：21r drrDdsrf 12244)(n()(3
2、13rrDf )()(3100rEf在 的球形外：2 )()( 210202 34142 rdrrErf )()(2120r式中 写在一起r0)(r)()(E221301310rrrf电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系32） r)()(EDP310f（与第一题相符）fp内表面： 013030011 )(E)(n)(n2 rfrrp 外表面： 210022 rrrp )()()()(12 电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系43. 证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折满足： 12tan式中 和 分别为两介质的介电常数， 和 分别为界面两侧电场线与法12 2线
3、的夹角。证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度 ，故边值关系为：0f, （ , ）ttE12nD1212)E( f)D(n12若两种介质都是线性均匀的，即 ， ；上边两式为: ，12sisi 1122coscs于是得： 1tan电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系54. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。证明：设介质 1 为导体，介质 2 为绝缘体。静电情况下： ,0E1D由边值关系： ,2)(nf)(n12可得： ,tt12f1即， ，0tEfnD2对于各向同性线性介质 E所以， f即导体外的电场线垂直于导体表面1 导体2 绝缘体
4、电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系65. 如图 1，有一厚度为 ，电荷密度为 的均匀带电无限大平板，试用分a20离变量法求空间电势的分布。解：以 O 原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性，电势分布仅与 x 有关，即一维问题。容易写出定解问题：)(axdxii0122时 aei ei时 0x0)(xi直接求解得 20i)(axe02aO图 1 x电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系76. 内半径 ，外半径为 的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电量 ，ab Q试用分离变量法求空间电势分布。解.根据球对称性，空间电势分布 仅与 r 有关，定结问题为：)(bra0211arr=b
5、时 21 Qdsr)(201002r求解得 )(rabQ1401)(01电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系87. 均匀外电场中 ，置入半径为 的导体球。求以下两种情况的电势分0E0R布。（1）导体球上接有电池，使球保持电势为 ；（2）导体球上带有总电荷0。Q解 建立球坐标系 极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与 r 有关1） 的定解问题为00 02cos)(rERrrR此时 是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为23000 rRErr cos)(cos2） 的定解问题为00r02RrQdsn)(一类似解为 230004rREEcoscos电
6、动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系98. 介电常数为 的无限均匀介质中，挖一个半径为 的空球，球心处置一电a矩为 的自由偶极子，试求空间电势分布。fp解 如图建立球坐标系， 的方向为极轴 方向,fpxe的定解问题为012rei ar)(r=a 时， ；eirei0注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性， 可写为：i)(coscos)(nnnfi PrBArp10204第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故 Bn=0解的电势分布 )()(rp)(r arafeffi 30030240fp0z电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系109半径为 R 的均匀介质球中心置一自
7、由偶极子 ，球外充满另一种介质，fp求空间各点的电势和极化电荷分布（介质球介电常数为 ，球外为 ） 。12解：求解与上题类似，只需 ,210得 ，0321314Rrrppff，03212f极化电荷分布，在介质球内 fp01因此在球心处有一极化电偶极矩 ，fp0在 的界面上，由 ，0Rr12pn0可得， 30210210101202 30 Rprrr fRRp cos电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系1110. 两个接地的无限大导电平面，其夹角为 ，点电荷 位于这个两面角60Q的平面上，并与棱边（两面角之交线）相距为 。试用电像法求真空中的电势。解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点
8、电荷 Q 位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小：（1）首先考虑半面 ，为了满足 平面的电势为零，应在 Q 关于ON对称的位置 B 处有一像电荷-Q ,N（2）考虑半面 ，同样为了满足电势为零的要求，对于 A、B 处两个点电荷+Q 和 -Q，应在 A、B 关于 对称ON的位置 C、D 处有两个-Q、+Q ，（3）再考虑 半平面，对于 C、D处的-Q 和+ Q，应在 E、F 处有两个像电荷+ Q 和-Q 才能使导体 的电势为ON零。可以证明 E、F 处的两个点电荷+Q 和- Q 关于 平面对称，因而可满足平面的电势为零，这样找出了 5 个像电荷，加上原来给定的点电荷，能ON够
9、使角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点 P 处的电势可表为 ，65432104rrx其中 分别为给定电荷 Q 及其像电荷到 P 点的距离。621r,在其余空间的电势为 。A+Q NNCDF E B-Q+Q-Q +Q -QA电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系1211. 接地空心导体球，内外半径为 和 ，球内离球心 处（ ）置1R2a1R一点电荷 ，试用电像法求空间电势分布。导体上感应电荷分布在内表面还Q是外表面？其量为多少？若导体球壳不接地而是带电量 ，则电势分布又如0Q何？若导体球壳具有确定的电势 ，电势分布如何？0解：根据题意设球内区域电势为 ，球外区域电势为 ，12，
10、021201RRzyaxQ,设像电荷位置如图所示， rQ014其中 21222 cos,cos RbRar 由边界条件 01 cscs aQbQ1212212 o bRR21RR1 R2 a b r BQr Q电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系13要使上式对任意 成立，必有（*）02211aQbR1解得 ， （舍去）ab21,代入（*） ，得 QaRQ121一aRb121,由上可知， ，204R 202121212120 41 RQaRaQaQcos/cos若使有确定 ，且两种情况有相同解 ，02004， cos/cosaRQRaQ21422041由边界条件 n12所以，外表面感应电荷
11、面密度 ，0201R内表面感应电荷面密度 ， 231210241 cosaQR电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系14总感应电荷 ， （可见全部在内表面上）Qds2一12. 四个点电荷，两个 ，两个 ，分别处于边长为 的正方形的四个qa顶点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。解：该系统电荷分布为分立分布，在如图坐标系中位置为 q(0,0,0)，-q(a,0,0)，-q(0,a,0)，q(0,0,a)的精确到四极矩情况下，可求得远处的电势分布为。50234rxyqa -q-q+q+q电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系1513. 求面电荷密度按 分布，半径为 的球的电矩。问该系统是cos0a否存在电四极矩？解： dvpx，0dsvpyxxx 一0svyy34adpzz所以， zeP0一一一一033202 dsazdvazDz 1zyx电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系1614. 设真空中电场的势为 )/()/(aqqr232)(r式中 是离坐标原点的距离， 和 是常数，求相应的电荷分布。ra解： ， ，0202时， ，ar02rq时，3032 aqa/ 30aq/)(r电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系1715. 在一点电荷 的电场中，距离它为 的地方有一偶极子，其电矩 ，qdlpq求在下列两种情况下，此电
