概率论与数理统计试卷合集附答案 (2)1

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1、1概率论与数理统计期末试题一一、填空题（每小题 4 分，共 40 分）1、 设 与 为互不相容的两个事件， ，则 0 。AB0)B(P)|(A2、 事件 与 相互独立， 则 0.5 。,7.)(,4.)(A)(BP3、 设离散型随机变量 的分布函数为X01x)(xFa322bx且 ，则 。21)(XPa61b,654、 某人投篮命中率为 ，直到投中为止，所用投球数为 4 的概率为_ _。54 62545、 设随机变量 与 相互独立， 服从“0-1”分布， ； 服从 的泊松分XYX.0pY布 ，则)2( ._24.)(_,4.2)( DE6、 已知 则,31,9)(D,16)( XY.36)(7

2、、 设总体 服从正态分布 从总体中抽取样本 则统计X),0(2N ,4321X量 服从_ _分布。24231,F8、 设总体 服从正态分布 其中 为未知参数，从总体 中抽取容量X),1(NX为 16 的样本，样本均值 则总体均值 的 的置信区间为,5X%95_（4.51，5.49）_。 （ ）6.97.0u29、 若 ，且 与 相互独立，则 服从_),(),(221NYXXYYXZ_分布。221N二、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1、 (10 分) 已知 8 只晶体管中有 2 只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二

3、次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。解： （1）一只是正品一只是次品的概率为： 73C2816（2）第二次才取得次品的概率为： 4。（3）令 表示“第一次取出的是正品” ， 表示“第一次取出的是次1A2A品”表示“第二次取出的是次品”B第二次取出的是次品的概率为：418276)A(P|B()PA|()P21 2、 （10 分）设随机变量 的概率密度X)(xf1A20x0 其它求：（1） 的值；（2） 的分布函数 ；（3）X)(xF.5.1P解：（1）由 可得， 1dx)(f20 2A1d(所以，)(fx0x0 其它3（2） ， )x(F00x， .41221 （3） .25.116dx)(

4、.x5.P3、 （10 分）甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2，乙的命中率为0.5，以 和 分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1） 和 的联合分布律；XY XY（2） 和 的边缘分布律。解：（1） 和 的联合分布律为： 。2,10n,m 4C251).0(5C)8.0()(P )m1(n2nn2mm （2） 和 的边缘分布律。XY由于 与 相互独立，所以 和 的边缘分布律分别为：XY。2,10m)8.0(2C)(P2m。,n5.(0)nn2.4、 （10 分）设总体 的概率密度为 X,1x10x0， 其它 )(f（1） 求 的最大似然估计量；（2）求 的矩估计量。解：（1）

5、似然函数为： 10,)();,.( 1121 iinini xxxL取对数为： .n1iil)(lnl由 得，0dLln1ii1ii xl0xl4则 的最大似然估计量为： 。n1iiXl（2） 10dxEX由 得， 的矩估计量为： 15、 （10 分）某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布 ，现测得 9 炉铁水)08.,54(N2的平均含碳量为 4.484，若已知方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.55（ ）？（注： 05.,6.195.0u,6.1975.0u）,362)8(t975.0 8)(t.解： ,5.4:H05.4:H1在原假设成立的条件下， ),0(Nn/8.0X已

6、知 则 ，由 得拒绝域为：,05.961u2.|3/8.4|当 时， .4X96.183.6|/10.5| 所以拒绝原假设，即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.55。1、设 与 为互斥事件， ，则 0 AB0)B(P)B|A(8、已知总体 ， 均未知，现从总体 中抽取样本,NX22, X则 的矩估计量 ； 的矩估计量 。,n21 X22nkkx110、设随机变量 且 ， ，则 ),(pB.E.1D56 ， 0.4 。np1、 （10 分）一人从外地到北京来参加一个会议，他乘火车的概率为 ， 乘飞机的概率为 53，如果乘火车来，迟到的概率为 ， 乘飞机来，迟到的概率为 ， 求：524161（

7、1）此人迟到的概率； （2）如果他迟到了，那么他是乘飞机来的概率为多大？解：设 C=“此人迟到” ，A=“乘火车” ，B=“乘飞机”则 ， ， ，3AP5BACP6B（1）由全概率公式： 60135243CP（2）由贝叶斯公式： BAP2、 （10 分）某汽车总站每隔 3 分钟发一趟车，乘客在 3 分钟内的任一时刻到达是等可能的，若以 表示乘客的候车时间，X求：（1）乘客候车时间 的概率分布。X（2）乘客候车时间不超过 2 分钟的概率。解：（1） 。0,3x1)x(f（2） 32d)2X(P6、 （10 分）为了比较甲、乙两件品牌灯泡的寿命，随机抽取了 10 只甲种灯泡和 8 只乙种灯泡，测得

8、平均寿命分别为 甲 =1400（小时）和 乙 =1250（小时） ，样本标准差分xx别为 甲 =52（小时） 和 乙 =64（小时） ，设两种灯泡的寿命分别服从正态分布，且ss方差相等，试计算两种灯泡的平均寿命之差 的 置信区间。乙甲 950（注： , ）19.2)6(975.0t 745.1)6(5.0t解：因为两种灯泡的寿命分别服从正态分布，且方差相等采用 统计量， T2X12121 ntnSw又知 甲 =1400 乙 =1250， 甲 =52， 乙 =64xxs6， ，8,102n05.19.2)6(97.t56.7412212SSw两种灯泡的平均寿命之差 的 置信区间的下限为：乙甲 9

9、50=1400-1250-2.119957.560.474342=92.1221X)16(975.0t21nSw置信区间的上限为：=1400-1250+2.119957.560.474342=207.88 21)(975.0t21w两种灯泡的平均寿命之差 的 置信区间（92.12，207.88） 乙甲 9501、设 与 为相互独立的两个事件， ，则 。AB)B(P)B|A()(P3、已知 ，则 ；)4,5.1(NX.3X15.3|-X|。 （请采用 的形式表示计算结果）2)(10、设总体 服从正态分布 ，从总体 中抽取样本 样本均值,(2,n21为 ，样本方差为 ，若 未知，检验假设 ，则使用

10、的统X2S 000:H;:计量为 ，在显著性水平 下关于 的拒绝域为 n/00 。)1(t|/S|2101、 已知一群人中，男人的色盲患者为 ，女人的色盲患者为 0.25%，又知这群人中男女%5人数相等，现从其中随机抽取一人，求：（1）这个人是色盲的概率？（2）若这个人恰好是色盲，求其是男性的概率？解：（1）令 表示“这个人是色盲” ， 表示“这个人是男的” 。AB7%625.025.0%5 )B(P|A()B(P|A()(P21065.)(|()|()|)|B( 七、 （15 分）设 是来自几何分布12,nX，1()(),20kPkpp的样本，试求未知参数 的极大似然估计.解 -5 分111

11、1(,;)()()niin xxnniLx 1lll,niipXp-10 分l 0,iidL解似然方程，1niiXp得 的极大似然估计。-15 分一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1 设事件 仅发生一个的概率为 0.3，且 ，则 至少有一个不发BA, 5.0)(BPAA,生的概率为_.2 设随机变量 服从泊松分布，且 ，则 _.X24)1(X)3(3 设随机变量 在区间 上服从均匀分布，则随机变量 在区间 内的概)2,0( Y4,0率密度为 _.)yfY4 设随机变量 相互独立，且均服从参数为 的指数分布， ，则, 2)1(eP_， =_.1),min(YP5 设总体 的概率密度为X.

12、其 它,0,)(xxf1是来自 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为_.n,21解：1 3.)(BAP即 )(25.0)()(3.0 ABPBPA所以 1.8.90)(1)()( ABPBAP2 eXPeXX 2)(,01由 知 2)2(4)(即 2 解得 ，故1.16)3(eP3设 的分布函数为 的分布函数为 ，密度为 则Y(),YFyX()XFx()Xfx2()FyPyy因为 ，所以 ，即0,XU0Y故 1,04,14()()()2.YXyfyFfy其 它另解 在 上函数 严格单调，反函数为0,2x()h所以 1,04,4()2.YX yfyfy其 它4 ，故 (1)1PXe2min,min(,)1PY(1)(PXY.45似然函数为 1 11(,;)()(),)nni niLxxx lllnii10iidx解似然方程得 的极大似然估计为.1lniix三、 （7 分）已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设 任取一产品，经检验认为是合格品A任取一产品确是合格品B则（1） ()(|)(|)PABP0.95.102.57