第五章 一维定态问题

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1、5 - 5 一维 定态问题在势场 中运动的粒子的薛定谔方程：)(rV, )(2),(i tVmt rr对应定态薛定谔方程：, ) ()( 2 rrEVm(三维) , )()( d2 xx(一维)用定态薛定谔方程来处理一些一维问题，量子体系的许多特征都可以在这些比较简单的问题中体现出来。674一 势能曲线势能是保守力场中只与位置相关的函数。势能曲线给出了一个系统的势能分布及描绘了保守力的分布。保守力 势能的负值x pdFExx 区间 pdEx xF(0, a) 0 (沿 x 方向) 势阱(a: 不受力的平衡位置)：粒子将被 (a, c) 0 0 0 (沿 x 方向) 离开平衡位置675若粒子在此

2、势场中，具有能量 0kaEE若粒子越过该势垒，能量守恒要求0 0 and kcckEEE所以，这个粒子不可能越过势垒bd。 676研究一个量子体系（如氢原子，金属中的自由电子的运动，双原子分子，原子核的结构，一个原子核与另一核的相互碰撞、散射等），几乎都可以从体系的能量关系出发进行分析，而绕开相互作用的力，研究一个波动的微观粒子在一个势场中运动规律。这就要解粒子在势场中运动的薛定谔方程，得出相应的运动规律。二 无限深方势阱 离散谱( 1 ) 无限深方 势阱677粒子处在无限深方势阱中)0(.,)( axxV或(5. 65) 势 阱外势阱壁无限高，在势阱壁上及势阱外波函数为零( 粒子不可能穿透无

3、限高的势阱壁) )0(.axx或 势 阱内当 0 x a 时，一维定态薛定谔方程可化为 678. 02dEmx(5. 66)令 , k2(5. 67)则方程(5. 66)的解可表示为, )(sin)( xkAx(5. 68)其中 A，k 和 是待定常量 : A 由归一化条件确定，k 和 由边条件确定。 束 缚态边条件根据薛定谔方程所提出的关于波函数连续性的要求，势阱内粒子的波函数，必须满足679如下的边界条件：. 0)(,)0(a(5. 69)i.e. 边条件: 0(0)sin()sin()0,xAkA = 0；()sin()sin()0,xaaAkAka),321(,k(5. 70)我们舍去

4、了 n = 0 的情况，因 为若 n = 0，必有 0，没有物理意 义。 能量量子化和零点能由式(5. 67) ,可得 Emk2, （因为 ）ank/680),321(.2namEn(5. 71)能量本征值或能级n 能量量子数 当粒子被束缚在势阱中时，体系的能量是量子化的，即所构成的能谱是离散的。 粒子的最低能级基态的能量，即粒子具有零点能。 经典物01E理中粒子的基态能量可为零。 能量本征函数及其归一化与能量本征值 En 相应的波函数（式（5。71）说明，只有当能量取离散值 En时，相应的波函数 n 才是满足边条件的、物理上可接受的。 ）)0(.si)( axaAxn681(5. 72)利用

5、归一化条件, 1d)(02xan(5. 73). 取 A 为实数，得a2 归一化的能量本征函数)0(.0,)(sin2)( axaxxn 或(5. 74)能级 n = 1, 2, 3, 4 的波函数 n 以及概率密度 n 2见图 5 - 3。 能量本征函数的正交性 对于不同能级的波函数 m 和 n，由式 (5. 74)可得682xanaxmanmd)(si2)(sin2d*0 ( using )2sinicos)cos()(.0d*nmnm(5. 75)波函数 m 和 n 互相正交引入克罗内克符号 nnm.0,1(5. 76)一维无限深方势阱中粒子波函数能量本征函数的正交归一性表为(5. 77

6、)nmd*683上述积分遍及粒子所能到达的空间。 节点（除端点 和 外，波函数为零的点）0xa量子态 n 值 节点数 基态 1 0第 1 激发态 2 1第 k 激 发态 n 1) k把体系看成直线上的驻波： 节点越多 波长越短图 5 - 3 一维无限深方 势阱中的粒子684频率越高 能量越高。驻波不形成粒子流的，总有 j = 0. 这很自然：在波函数为实数的情况下，由于 ，*概率流密度 j 总是为零的。对于一维定态，当粒子处在束缚态时，可以证明能量本征函数具有常数相位，也总有 j = 0. 若粒子处在散射态，例如自由粒子，无上述结论。二 线性谐振子( 1 ) 线性谐振子 的定态薛定谔方程量子力

7、学中的重要物理模型685受微小扰动的物理体系：分子和固体晶格等看成是谐振子系统发射电磁波的物质： 谐振子的集合量子场论中的场量子化：采用谐振子模型。线性谐振子或一维谐振子体系在一维空间中运动的粒子的势能为 , 221)(xmxKV(5. 78) 其中 是常量(振动角频率)，K 谐振子的劲度系数，m 谐 振子的质量，. m(5. 79)在量子力学中，将式(5.78)代入式 686(一维)()( d2 xExVm得线性谐振子的定态薛定谔方程为, )()(21d( xxx(5. 80)它是一个变系数二阶常微分方程，可以精确求解。为简洁起见，引进无量纲的参量 和 ：x, (5. /m81), /2E(

8、5. 82)则线性谐振子的定态薛定谔方程(5. 80)化为. 0)(d22687(5. 83)( 2 ) 波函数 在 时的渐近行为 /2E(与 相比)可以略去，/2xm方程(5. 83)可近似表达 为. 0d2(5. 84)其解（即方程(5. 83)在 时的渐近解）是 。2/e严格的谐振子势是一个无限深的势阱，只存在束缚态 时 ， 0. (5. 68885)因此在上述渐近解中应舍弃 解：2/e 时 ， . /2(5. 86)由此，方程 的解为0)(d22. )(e=/u(5. 87)u( )=?( 3 ) 厄米多 项式将解（5. 87）代入方程(5. 83)，得到 u( ) 应的厄米微分方程.

9、 0)1(d2duu689(5. 88) 一般情况下，厄米微分方程的解是一个无穷级数，它在 时的渐近解是 u( ) ， 不能满足束缚态边2e条件。 只有 u ( )中断为一个多项式，才能保证束缚态边条件的成立， 可以证明，级数只包含有限项的条件是 为奇数),210(.21n(5. 89)这时方程(5. 88)有一个多项式解厄米多项式690, 2 2d()H()(1)eennnu (5. 90) 前几个：,1)(H0,2,4)(,183,26)(H44. 02355( 4 ) 能量本征 值和零点能 能量本征值将式 和 /2E合并有12(0,12)n),10(,(nnE691(5. 91)说明使

10、u ( )中断为一个多项式的要求，就是对谐振子的能量 E 有一定的限制线性谐振子的能量只能取离散值。振动能级是均匀分布的，两相邻能级间的间隔为 ； nE1(5. 92) 基 态能量(零点能)012E(5. 93) 零点能的实验证明 光被晶体散射的实验：当温度趋于绝对零度时，散射光692的强度趋于某一个不为零的极限值。这说明，即使在绝对零度，原子仍有零点振动。 正常沸点只有几开的液体4He 和液体 3He，都具有显著的零点能效应。例如，在常压下，即使温度降低到了绝对零度附近，液体氦也不会变成固体。( 5 ) 能量本征函数和宇称对应于不同的谐振子能量 En，定态薛定谔方程)()(21d( xxmx

11、有不同的解 n ( x ).693 正交归一的定态波函数为, )(He)(2/xAxnxnn(5. 93)其中 , .!2nm 定态波函数和概率密度分布（ 图 5-4和图 5-5）定态波函数具有确定的宇称当 n 为偶数时， ，谐振)(xn子处在偶宇称态；当 n 为奇数时， ，谐振)()(xnn子处在奇宇称态。这是由于势能函数 V(x) 在空间反演下的不变性 . )(xV694 经典力学概率密度分布线性谐振子在 处速度最大，所以粒子在该处停留的时间最x0短，即粒子在该处出现的概率最小；而在两端粒子的速度为零，粒子出现的概率最大，如图 5-5 中的虚线所示。 量子力学位置概率密度当 n 较小时，线

12、性谐振子的位置概率密度分布与上述经典结果完全不同；随着量子数 n 的增大，相似性才逐渐增加。如图 5-6 所示，当 n = 11 时量子和经典的结果在平图 5 - 4 线性谐振子的波函数图 5 - 5 线性谐振子的位置概率密度分布695均上已比较符合。但量子谐振子的 n( x ) 2 是迅速振荡的。 量子效应即使在大量子数情况下，线性谐振子的位置概率密度分布，在经典禁区中( 即两端竖直虚线以外)的概率密度仍不为零。 双原子分子的转动和振动这是包含两个原子的系统：有两个原子核，每一个原子核都被一群电子所围绕着。两个核的质心相距 r,与平衡距离 r0 始终十分接近。在经典力学中始终无法理解这种平衡距离的存在：因为一图 5 - 6 n = 11 时的概率密度分布696个和核的电子群受该核吸引，又受另一核的电子群的排斥，却能保持稳定，无法理解。量子力学可处理这个问题：势能函数写为0220022()() ()rKVrErdVwher所以这是一个谐振子问题。我们可以得到处于稳定态的双原子分子的束缚态能级：20 001(1)()22lEnhmrwhere : 振动能项 （n：正01()2nh697整数）： 转动能项 (l：正20(1)2lmr整数或零)： 折合质量 120m： 德布罗意波的1/20012Km频率